レベルが低い質問で申し訳ないのですが、

ある乗り物があったとします。

この乗り物の加速度が現在速度vをパラメータとして2次式で以下の式で表されるとします。

a=0.0002v^2-0.0445v+3.2951

初速度はv0=0として、
1.t秒後の速度
2.xメートル走行後の速度
3.xメートル走行に要する時間

の3つを求める式はどのように作ればよいのでしょうか。昔、積分を使って計算した気がするのですが、どうも忘れてしまって、計算できません。

パソコンで計算させるので、複雑な式でもかまいませんから、結果としての数値表ではなく、パラメータを用いた関数として教えていただければ、と思います。

宜しくお願いします。

A 回答 (6件)

積分は解析的に求めるのでしょうか?


とりあえず解を求める方向性を書いておきます。
具体的な積分などは解析的に求めるか、プログラムで数値的に求めてください。

加速度aは速度vの時間微分ですから、
a=0.0002v^2-0.0445v+3.2951
より、
dv/dt=0.0002v^2-0.0445v+3.2951
よって初期条件も考慮すると、
∫1/(0.0002v^2-0.0445v+3.2951)dv(0~v)=t(v).....(1)
左辺の積分を実行すると、時間tが速度vの関数として書けるので、
逆解きして速度vが時間t時間の関数として書けます。
これが問題1の解ですね。

次に速度vは走行距離xの時間微分ですから、
dx/dt=v(t)
ここで右辺は問題1で求めました。
初期条件(x(t=0)=0)も考慮して、両辺時間積分すると
x(t)=∫v(t)dt(0~t).....(2)
よって右辺積分を実行すると、走行距離x(t)が求まります。
これを逆に解いて、走行距離xのときの時間t=t(x)が求まります。
これが問題3の解ですね。

さらに、問題1の解v(t)のtに今求めた解を代入すれば、
速度vが走行距離xの関数として書けます。
これが問題2の解ですね。

これでいかがでしょう。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

この計算で答えが求められることは理解できました。しかし、私の知識が乏しく、高校時代の教科書は家においたままであるため、(1)左辺の積分を解き切れません。(というより、情けないことに、分数の積分の解き方を忘れてしまっていて、周囲の人間とともに考えたのですが、解けないのです。)

とりあえず、帰宅後にでも教科書を引っ張り出したいと思います。

お礼日時:2001/01/22 16:46

>加速度は今回の場合、m/s^2 で計算してあります。

速度はm/s です。
この単位だと、先程の結果に質問の数値を入れて plot したところ
200秒付近で発散してしまうのですが、時間は200秒以内でよいのでしょうか?

あと、お節介かもしれませんが
今の数値だと、v^2 の係数からの誤差が効いていて
3.2951 のような桁数はいらないですね。
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この回答へのお礼

有り難うございました。

皆さんからの回答を頂いたあと、会社で色々考えていたのですが、どうやら近似式に若干問題があるようでした。

結論から言うと、200秒以内の話ですので問題はないのですが、近似を指数近似に変更した方が色々都合が良さそうなので、再度明日会社で近似をやり直そうと考えております。

それと誤差については仰るとおりですね。近似を Excel でやったもので、その結果の式をそのまま使っていました。以後気を付けます。

お礼日時:2001/01/22 23:29

やり方は atsuota さんの仰るとおりです。


今の数値の場合は

a=0.0002,b=-0.0445,c=3.2951
√=√(4ac-b^2)

として、積分を実行すると

 t(v) = 2/√*[ Arctan{(2av+b)/√} - Arctan{b/√} ]

となります。これを逆に解いて

 v(t) = [√tan{√/2*t + Arctan(b/√)}-b]/2a

さらに、積分定数を x0 として積分すると

 x(t) = -1/a*log| cos{√/2*t + Arctan(b/√)} | - b/2a*t + x0

となりましたが、これを逆に解いて t(x) はきびしいですね。
したがって、2と3はやっていません。
上に挙げた3つの式から後は数値的にやってみてください。
また、∫1/(av^2+bv+c)dv(0~v) の積分の際

 2av+b = √(4ac-b^2)*tanθ 

と変数変換しました。
一応結果を確認してください。
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加速度は位置の二階時間微分、速度は位置の一階時間微分なので、この



a=Av^2+Bv+C

のかたちを(A、B、C、D、Eを定数として)、

a=A(v+D)^2+E

にして、v+Dの微分はaと同じことから、v+D=Vとして

dV/dt=AV^2+E

を解いて・・・・てのはだめですかね???

どこかの本に解がありそうですが・・・
すんません・・・見つかりません・・・^^;
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加速度を速度の二次関数で表記することは可能です。


工学屋さんと物理屋さんだけですが。
これの場合は加速度そのものが変化するのですよね。
初期加速度=3.2951
1秒後は3.2951進んでいる
速度1の時は加速度3.2508
加速度の加速度を求めればいけますね。

あとは単位がないと数値が正しくとも0点です。
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この回答へのお礼

早速のお返事をありがとうございます。
また、言葉が至らず、失礼しました。

加速度は今回の場合、m/s^2 で計算してあります。速度はm/s です。

加速度の加速度ということは、単純に考えると、加速度が単位時間あたりにどれくらい変化しているか、といった数値ですよね?

ちょっと頭を整理してみます。

それと、さっき気がついたのですが、2次近似よりは指数近似の方が近似として正しいような気がしてきました。実際のところ、どちらの近似を使うのが良いのでしょうか。

それはともかく、時間を割いての回答をありがとうございます。

お礼日時:2001/01/22 16:06

速度は距離と時間の関数


加速度は速度と時間の関数
    距離と時間の二次関数
なのですがその式では速度の二次関数になってます。
式の確認をお願いします。

この回答への補足

乗り物ですので、いわゆる各速度における加速度を実測し、それを、2次式にて近似しました。その関係で、加速度が速度をパラメータとする2次関数で表されています。

従って、式自体に書き間違い等はありません。

積分等を多用してむりやりにでも式ができれば、と思ったのですが、やはり、速度をパラメータとした式では計算できないのでしょうか?

補足日時:2001/01/22 14:35
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Aベストアンサー

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら、速度の単位は m/s に統一します。つまり
 V10 = 8 km/h ≒ 2.22 m/s

これより
  12000*V10 = 26640 = 12000*V12 + 1040*V22  
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
よって
  V12 ≒ 2.01 (m/s)
  V22 ≒ 2.45 (m/s)

 つまり、被追突車両は、追突によって
  静止状態 → 2.45 (m/s)
に加速されたことになります。この「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.45 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 18.8 (m/s^2)
です。

 ということで、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。


 以上の計算を、追突車両の質量 W1 を「300 ton = 3.0 × 10^5 kg」に変更すれば、運動量保存の式(A)は
  3.0 × 10^5 * V10 = 6.66 × 10^5 (kg・m) = 3.0 × 10^5 * V12 + 1040*V22
となりますから、相対速度の式
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
との連立式を解いて
  V12 ≒ 2.21 (m/s)
  V22 ≒ 2.65 (m/s)
ということです。「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.65 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 20.4 (m/s^2) ≒ 2.08G
です。
  
 これまた、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。

 それは、計算間違いではなく、「反発係数 0.20 」とする限りは、(B)式から分かるとおり、V22(被追突車両の速度)が 1.20*V10 = 2.66 (m/s) を上回ることはないからです。(V12 = V10 のときに V22 が最大になる。V12 > V10 となることはあり得ない)

 もし仮に、「反発係数 1.0 」(完全弾性衝突)としても、V22(被追突車両の速度)の最大値は 2 * V10 です。
 座標軸を変えて、衝突車両側に座標の原点をとり、被追突車両が動いて衝突したことを考えると、最大でも「逆向きの同じ大きさの速さで跳ね返る」ということですから。(地面に対する完全弾性のボールを考えれば分かる通り、ボールが衝突前の速さ以上の速さで跳ね返ることはない)

 これに対して、追突車両の速度が大きくなり、かつ「衝突時間」が短くなれば、衝撃は大きくなるでしょう。

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら...続きを読む

Qv^2-v0^2=2a(x-x0)の運動の公式が

こんにちは。数学が苦手で物理をずっとあきらめてました。

春なので新しいことに挑戦しようと思って、ためしに力学からチャレンジを始めてみましたが、等加速度運動の公式「速度の二乗と初速度の二乗の差」と「変位に加速度の二倍をかけたもの」が等しいという式が出せなくて止まってしまいました・・・。

数学的な問題です(汗)

t=(v-v0)/a を使って、経過時間を除いた式を作るところです。

x=x0+v0((v-v0)/a)+1/2a((v-v0)/a)^2

となるのはわかりますが、そこから

x=x0+1/2a(v^2-v0^2)

というふうに1/2aで括れているのが不可解なのです。

この式から、v^2-v0^2=2a(x-x0) に変形できるのはわかります。公式を暗記したとしても、出せないのでは応用がきかず今後多難です・・・。

どうやって1/2aで括るのか教えてください。お願いします!!

Aベストアンサー

こんばんわ。

>どうやって1/2aで括るのか教えてください。お願いします!!
というよりも、
「1/(2a)でくくってから、中身を計算している」と考えたらどうですか?
(v- v0)^2を展開した 2v* v0がちょうど消えるようになります。

2つの公式から導き出せることもあり、
正直この公式自体、あまり用いることはないかとも思います。
(2つの等加速度直線運動の公式から時間:tを消去する。とだけ覚えていれば)

Qシリンダーの加速時間を考えた計算の式の意味がわかりません。 (1)の最大速度と、加速度の計算式は公式

シリンダーの加速時間を考えた計算の式の意味がわかりません。
(1)の最大速度と、加速度の計算式は公式ですか?
この式になる理由を教えてください。

Aベストアンサー

そもそも何を説明しようとしているものなのか、このページの「前段」の話がないとチンプンカンプンです。

おそらく、(1)の最大速度
 V = 2S / (t1 + 2*t2)
は、
 1/V = t1/2S + t2/S = (1/2)*1/(S/t1) + 1/(S/t2)
のような計算をしているのだと思いますが、グラフの中身や記載されているものの意味が分からないと、何とも言えません。

Q重心の初速度が(v,0)のとき 重力しか力がかかってないとすると 周速度はvになりますか?

重心の初速度が(v,0)のとき
重力しか力がかかってないとすると
周速度はvになりますか?

Aベストアンサー

前の質問に関連してということですか?
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9355771.html

上記と同じ条件で鳴れば、下記ということです。

・AにもBにも鉛直方向には重力が働く
  ↓
・他に外力がないので、重力は「重心」に「並進力」として働く

・A、Bには水平方向には力は働いていない
  ↓
・水平方向に初速度があるので、「重心」は等速度運動

・点Aは初速 (0, 0) 、点Bは初速 (2v, 0) なので、重心の初速は (v, 0)
  ↓
・重心を座標の原点にとれば(重心系)、点Aは左方向に v 、点Bは右方向に v の速度を持つ。
  ↓
・重心は静止しているので、これは重心を中心とする回転運動で、点A、Bにおける周速度が v 。

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(つまり50mの地点では-1.5m/s2、10mの地点では-1.1m/s2となる。)
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Q重力加速度 9.8m/s^2 は、計算値?

.
重力加速度 9.8m/s^2 は、計算値ですか?
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また、重力の様に引き合う力ばかりで、反発するちから(斥力)が
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宜しくお願いします。
.

Aベストアンサー

皆さんがおっしゃるように、実測値を基にした値です。

> どうしてその値になるか分からないのですか?

万有引力定数の値をより根源的な原理から計算できるのか否か? という問いですね。現在のところ、できていないようです。我々には宇宙に4つの力(電磁力、弱い相互作用、強い相互作用、重力)があるように見えているのですが、これらは一つの原理で説明できる筈だと考えられています。最初の二つ(電磁力、弱い相互作用)を統一的に説明する理論は数十年前に完成しており、さらに強い相互作用まで統一的に説明できるようになりつつあると聞いた覚えがあります。しかし、重力まで統一的に説明できるようになるのは、まだ先でしょう。重力まで統一的に説明できる完全理論が完成すれば、その理論に基づいて万有引力定数の値を計算することができるようになるでしょう。

> 斥力が存在しないのも、分かっているのですか?

分かっていません。アインシュタインは、重力によって宇宙が自己崩壊しないのは長距離(銀河団間距離以上)で効いてくる斥力(アインシュタインの宇宙項)があるためであると説明しました。初期のビッグバン理論では宇宙項が否定されていましたが、現在は必ずしも否定しきれないとされているようです。

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皆さんがおっしゃるように、実測値を基にした値です。

> どうしてその値になるか分からないのですか?

万有引力定数の値をより根源的な原理から計算できるのか否か? という問いですね。現在のところ、できていないようです。我々には宇宙に4つの力(電磁力、弱い相互作用、強い相互作用、重力)があるように見えているのですが、これらは一つの原理で説明できる筈だと考えられています。最初の二つ(電磁力、弱い相互作用)を統一的に説明する理論は数十年前に完成しており、さらに強い相互作用まで統一...続きを読む

Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

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 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従っ...続きを読む


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