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3行3列の時逆行列を持つかどうかはどうやって調べるのですか? 
1、2、1      1,2,1
3、3、8  →   0、-3,5   
2、5、0      0,0、-1

ここからどうするのですか?

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A 回答 (4件)

与えられた行列を下のように表します。


{ {1, 2, 1}, {3,3,8}, {2,5,0} }
これをAとします。
(A|I)に行基本変形します。
{(1,2,1,1,0,0),(3,3,8,0,1,0),(2,5,0,0,0,1)}
左の括弧内の3倍を中の括弧から引きます。
{(1,2,1,1,0,0),(0,-3,5,-3,1,0),(2,5,0,0,0,1)}
左の括弧内の2倍を右の括弧から引きます。
{(1,2,1,1,0,0),(0,-3,5,-3,1,0),(0,1,-2,-2,0,1)}
中の括弧内を-3で割ります。
{(1,2,1,1,0,0),(0,1,-5/3,1,-1/3,0),(0,1,-2,-2,0,1)}
中の括弧内の倍を左の括弧から引きます。
{(1,0,13/3,-1,2/3,0),(0,1,-5/3,1,-1/3,0),(0,1,-2,-2,0,1)}
中の括弧の値を右の括弧から引きます。
{(1,0,13/3,-1,2/3,0),(0,1,-5/3,1,-1/3,0),(0,0,-1/3,-3,1/3,1)}
同じようにして、それぞれの括弧内の左が(1,0,0 (0,1,0 (0,0,1になるまで変形していきます。
(I|Aの逆行列)の形にします。
そうして出来た右側が逆行列です。
最後まで変形すると
{(1,0,0,-40,5,13),(0,1,0,16,-2,-5),(0,0,1,9,-1,-3)}
となり、逆行列は
{(-40,5,13),(16,-2,-5),(9,-1,-3)}}
となります。

3×3の行列{(a.b.c).(d.e.f).(g.h.i)}に対して
逆行列があるかどうかは
aei+dhc+bfg-afh-ceg-bdiが0かどうかで判断でき、
0でない場合、逆行列は存在します。
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>3行3列の時逆行列を持つかどうかはどうやって調べるのですか?


>1、2、1
>3、3、8
>2、5、0

当方の行列筆算能力は 2行2列まで。それ以上になると、行列をブロック分割するほかありません。

さっそく元の行列を
 |A B|
 |C D| = M
の形にブロック分割します。

 |1 2|
 |3 3| = A

 |1|
 |8| = B

 |2 5| = C

 |0| = D

元の行列式(det(M))が零なのかどうかを調べる式を作ります。(I は単位行列、A~ は A の逆行列)
 |A B|
 |C D| = M1*M2

 |I  0|
 |CA~ I| = M1

 |A   B  |
 |0 D-CA~B| = M2

ですから(確かめてみてください)
 det(M) = det(M1) * det(M2) = det(A)*det(D-CA~B)
として勘定できます。
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皆さんが述べているように、逆行列を調べればよいです。


3×3の場合はサラスの展開公式というものがあります。
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F: …
また、逆行列は#2さんのように単位行列に変換して、同じ操作を単位行列に加えてもできますし、どこかの行または列を変換して1成分以外を0にして余因子展開をして求める方法もあります。4×4以上では余因子展開によって行列式を求めるのがよいと思います。
 http://ysserve.int-univ.com/Lecture/linear/node2 …
また、上のリンクに余因子展開を用いた逆行列の求め方もあります。
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一般に正方行列では、行列式が0でなければ逆行列を持ちます。


また、三角行列の行列式は対角成分の積になります。
三角行列に変換できたなら、対角成分の積(=三角行列における行列式)を計算し、0でなければ逆行列を持ちます。

1×(-3)×(-1)≠0なので、逆行列を持ちます。
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