逆行列

3行3列の時逆行列を持つかどうかはどうやって調べるのですか？　
１、２、１　　　　　　１，２，１
３、３、８　　→　　　０、－３，５　　　
２、５、０　　　　　　０，０、－１

ここからどうするのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： rui2007 回答日時： 2007/07/08 01:49

与えられた行列を下のように表します。

{ {1, 2, 1}, {3,3,8}, {2,5,0} }
これをＡとします。
（Ａ｜Ｉ）に行基本変形します。
｛（1,2,1,1,0,0）,（3,3,8,0,1,0）,（2,5,0,0,0,1）｝
左の括弧内の３倍を中の括弧から引きます。
｛（1,2,1,1,0,0）,（0,-3,5,-3,1,0）,（2,5,0,0,0,1）｝
左の括弧内の２倍を右の括弧から引きます。
｛（1,2,1,1,0,0）,（0,-3,5,-3,1,0）,（0,1,-2,-2,0,1）｝
中の括弧内を－３で割ります。
｛（1,2,1,1,0,0）,（0,1,-5/3,1,-1/3,0）,（0,1,-2,-2,0,1）｝
中の括弧内の倍を左の括弧から引きます。
｛（1,0,13/3,-1,2/3,0）,（0,1,-5/3,1,-1/3,0）,（0,1,-2,-2,0,1）｝
中の括弧の値を右の括弧から引きます。
｛（1,0,13/3,-1,2/3,0）,（0,1,-5/3,1,-1/3,0）,（0,0,-1/3,-3,1/3,1）｝
同じようにして、それぞれの括弧内の左が(1,0,0 (0,1,0 (0,0,1になるまで変形していきます。
（Ｉ|Ａの逆行列）の形にします。
そうして出来た右側が逆行列です。
最後まで変形すると
｛（1,0,0,-40,5,13）,（0,1,0,16,-2,-5）,（0,0,1,9,-1,-3）｝
となり、逆行列は
{（-40,5,13）,（16,-2,-5）,（9,-1,-3）｝}
となります。

３×３の行列{(a.b.c).(d.e.f).(g.h.i)}に対して
逆行列があるかどうかは
aei+dhc+bfg-afh-ceg-bdiが0かどうかで判断でき、
0でない場合、逆行列は存在します。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/08 09:39

>3行3列の時逆行列を持つかどうかはどうやって調べるのですか？

>１、２、１
>３、３、８
>２、５、０

当方の行列筆算能力は 2行2列まで。それ以上になると、行列をブロック分割するほかありません。

さっそく元の行列を
　|A　B|
　|C　D| = M
の形にブロック分割します。

　|1　2|
　|3　3| = A

　|1|
　|8| = B

　|2　5| = C

　|0| = D

元の行列式(det(M))が零なのかどうかを調べる式を作ります。(I は単位行列、A~ は A の逆行列)
　|A　B|
　|C　D| = M1*M2

　|I　　0|
　|CA~　I| = M1

　|A　　　B　 |
　|0　D-CA~B| = M2

ですから(確かめてみてください)
　det(M) = det(M1) * det(M2) = det(A)*det(D-CA~B)
として勘定できます。

No.3 回答者： kazaguruma87 回答日時： 2007/07/08 02:06

皆さんが述べているように、逆行列を調べればよいです。

３×３の場合はサラスの展開公式というものがあります。
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F: …
また、逆行列は＃２さんのように単位行列に変換して、同じ操作を単位行列に加えてもできますし、どこかの行または列を変換して１成分以外を０にして余因子展開をして求める方法もあります。４×４以上では余因子展開によって行列式を求めるのがよいと思います。
　http://ysserve.int-univ.com/Lecture/linear/node2 …
また、上のリンクに余因子展開を用いた逆行列の求め方もあります。

No.1 回答者： happy_people 回答日時： 2007/07/08 01:46

一般に正方行列では、行列式が０でなければ逆行列を持ちます。

また、三角行列の行列式は対角成分の積になります。
三角行列に変換できたなら、対角成分の積(＝三角行列における行列式)を計算し、０でなければ逆行列を持ちます。

１×(－３)×(－１)≠０なので、逆行列を持ちます。