No.3
- 回答日時:
>がlognになることを証明する問題が分かりません。
log(n)には収束しません.
無限大に発散しますし,簡単に証明できます.
lim[n→∞](Σ[k=1~n]1/k - log(n))
ならば収束します
収束値はγとかかれEuler定数と呼ばれます.
まだ無理数かどうかすら不明の数です.
log(n)になると教授が言ってたのですが・・・教授が間違っている可能性があるかもしれませんね・・・
a_n、b_n>0、a_n~b_nとはa_n/b_n→1とする。(n→∞)
このとき、Σ(k=1~n)k=(1/2)n(n+1)~n^2/2
Σ[k=1~n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)~n^3/3
Σ[k=1~n]k^3={(1/2)n(n+1)}^2~n^4/3
Σ[k=1~n]k^α(α>-1)~n^(α+1)/α+1
とそれぞれ変形できるとき
(今回の問題)
Σ[k=1~n]1/k~log(n)
これを証明せよ。
問題が分かりにくくかった人もいたのかもしれません。申し訳なかったです。
No.5
- 回答日時:
これは、lognに収束するのではなく、nが大きいとlognに近似できるという意味です。
すでに書かれていますが、lim[n→∞]Σ[k ; from 1 to n] 1/k
は収束せず、正の無限大に発散します。
これがlognに近似できることの証明は、区分求積を使ってください。そうすれば、
0 < Σ[k ; from 1 to n] 1/k -logn < 1
となることが示せるはずです。
また、こちらもすでに書かれていますが、上記の不等式の中項は、n→∞で収束し、オイラーの定数と呼ばれています。これはガンマ関数の無限積表示などに登場します。
Σ[k ; from 1 to n] 1/k -logn
が何かの値に近似すれば(1?)証明できるのですねっ!
ありがとうごさいました。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
No.3です
>a_n、b_n>0、a_n~b_nとはa_n/b_n→1とする。(n→∞)
質問とはまったく意味合いが違いますね.
先生は間違ってなくて間違っているのはyoshiai23さんです.
先生のいってるのは
>lim[n→∞]Σ[k=1~n]1/kがlog(n)になること
でなくて
lim[n→∞](Σ[k=1~n]1/k)/log(n) = 1 であることです.
これの証明は区分求積を使えばすぐです.
ちなみに,こういう不等式式になります.
log(n+1)/log(n)
<
(Σ[k=1~n]1/k)/log(n)
<
1+ 1/log(n)
logは単調増加で無限大に発散なので,
1<log(n+1)/log(n) となることとあわせて
はさみうちでおわり
ちなみに
>0 < Σ[k ; from 1 to n] 1/k -logn < 1
が示せても意味はありません.
#振動する可能性が除去できません.
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