難問、相加相乗調和平均、Hoehn and Niven (1985)

a[1],a[2],,,a[n] は正とします。

相加平均を
A(a[1],a[2],,,a[n]) = (a[1]+a[2]+,,,+a[n])/n
とかきます。

A(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) = c+A(a[1],a[2],,,a[n])

となるのは明らかです。

相乗平均を
G(a[1],a[2],,,a[n]) = (a[1]*a[2]*,,,*a[n])^(1/n)
とかきます。

G(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) > c+G(a[1],a[2],,,a[n])

が成立するそうなのですが、どう示したらよいですか?

調和平均を
1/H(a[1],a[2],,,a[n]) = (1/a[1] + 1/a[2] + ,,, + 1/a[n])/n
とかきます。(左辺のHは分母にあることに注意)

H(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) > c+H(a[1],a[2],,,a[n])

が成立するそうなのですが、どう示したらよいですか?

No.8 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/20 17:52

細く見てもごちゃごちゃしていて分からないので

多分できていると思うから回答を示そう

d/dx(E(m;x+a,x+b,x+c)-(x+E(m;a,b,c)))
=(E(m;x+a,x+b,x+c)/E(m-1;x+a,x+b,x+c))^(1-m) - 1

命題1により
0<E(m-1;x+a,x+b,x+c)<E(m;x+a,x+b,x+c)
だから
1<E(m;x+a,x+b,x+c)/E(m-1;x+a,x+b,x+c)
よって微分式は
m<1で正1<mで負

この回答へのお礼

どうもありがとうございました

お礼日時：2007/07/22 03:12

No.7 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/19 07:21

/3が抜けていたので修正

2つの問題を整理すると

E(v;,x,y,z):=((x^v+y^v+z^v)/3)^(1/v)
とする。

[命題1]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)
は実数変数xについて単調増加である

[命題2]
mを実数としa,b,cをa=b=cでない3つの正実数としxを正実数としたとき
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
であり
1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
である

命題2は命題1を使えば簡単に解ける
結構評価できるのは命題1を解けばn項の
相乗平均<相加平均
が解けてしまうことである

この有名な不等式はコーシーが変則的数学的帰納法
(矢野健太郎の「難問解法のテクニック(絶版)」に記載）
で解いたものだが
命題1を解いてやるほうが簡単で直接的だからだ

とにかく命題1を使って命題2を解き補足に書け
命題1が分からなければその後この問題を締め切って
命題1を新規質問として登録せよ
そうすれば解けるまでヒントを段階的に与えよう

この回答へのお礼

ありがとうございます。この後、命題1を新規質問として投稿します。

命題1を使って命題2を解く。
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
を示す。
左辺-右辺において、x=0を代入すると0.
よって、左辺-右辺をxで微分して正であることがいえればよい。

(1/m) * E(m;x+a,x+b,x+c)^(1-m) * mE(m-1;x+a,x+b,x+c)^(m-1) -1

E(m;x+a,x+b,x+c)^(1-m) - E(m-1;x+a,x+b,x+c)^(1-m)
=-------------------------------------------------
E(m-1;x+a,x+b,x+c)^(1-m)

1-m>0、E(m;x+a,x+b,x+c)は正、かつmに関して単調増加であるから、これは正。

よって証明できた。

1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
も同様。

お礼日時：2007/07/20 17:26

No.6 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/19 07:08

この問題は思いがけずいい問題だね

2つの問題を整理すると

E(v;,x,y,z):=(x^v+y^v+z^v)^(1/v)
とする。

[命題1]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)
は実数変数xについて単調増加である

[命題2]
mを実数としa,b,cをa=b=cでない3つの正実数としxを正実数としたとき
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
であり
1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
である

命題2は命題1を使えば簡単に解ける
結構評価できるのは命題1を解けばn項の
相乗平均<相加平均
が解けてしまうことである

この有名な不等式はコーシーが変則的数学的帰納法
(矢野健太郎の「難問解法のテクニック(絶版)」に記載）
で解いたものだが
命題1を解いてやるほうが簡単で直接的だからだ

とにかく命題1を使って命題2を解き補足に書け
命題1が分からなければその後この問題を締め切って
命題1を新規質問として登録せよ
そうすれば解けるまでヒントを段階的に与えよう

No.5 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/18 21:55

間違った質問を訂正できたのは言いがまた質問が増えている

再質問の意味は締め切って再度質問すること
それがルール
また１質問に限るのもルール

ところで単調増加がいえるのならばそれを使って
後半の質問は回答が簡単に得られるはず
良く考えてそれを補足に示せ

それができたら
もし単調増加のヒントがほしいのならば
この質問を締め切って単調増加に限って再度質問をせよ

ただし質問は正確に簡潔にせよ

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/17 17:31

新たな質問はちゃんと整理して「正確に」に新規質問としてせよ

この質問のように２つせずに1つずつせよ
なお、この質問の導出過程を補足にかけ
できれば２題ともｎの場合について補足に書け
やや煩雑になるが・・・を使えばそれほど煩雑にはならない
無理ならばｎ＝３の場合でもよし
その場合はｎへの拡張方法が見えるように式を崩さないように書け

この回答への補足

整理します。とりあえず、３変数でかきます。a,b,c,xは正とします。

E(m;a,b,c)={(a^m+b^m+c^m)/3}^(1/m)
(この部分を以前と修正)

はm乗平均といいます。
m=1のときは相加平均、lim[m→0]のときは相乗平均、m=-1のときは調和平均です。
このE(m;a,b,c)はmについて単調増加ですが、それをいうには、
logE(m;a,b,c)をmで微分したものが正であることを言えばいいですが、
２回微分まで考えてもうまくいかないで困っています。

また、m=1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) = x+E(m;a,b,c)

m>1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) < x+E(m;a,b,c)

m<1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) > x+E(m;a,b,c)

と予想されますが、差をとってxで微分したものが正または負であることをいえればよいですが、これもうまくいかないで困っています。

補足日時：2007/07/18 12:40

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2007/07/17 09:30

f(c)=G(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) -( c+G(a[1],a[2],,,a[n]))

とすると
0<cで0<f'(c)が煩雑なだけで簡単に分かる
もう1つも同様

(n,a[1],a[2],a[3],c)->(3,a,b,c,x)
として導出を補足に書け
それができればnへの一般化は猿でもできる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
微分したらできました。以下、文字はすべて正。

E(m)={(a^m+b^m+c^m)/3}^(1/3)

とすると、これはmについて単調増加です。

E(-1)≦E(+0)≦E(1)≦E(2)

は
調和平均≦相乗平均≦相加平均≦２乗平均
といったことを意味していますが、Hoehn and Niven の不等式は、
E(-1)(a+x,b+x,c+x) > x+E(-1)(a,b,c)
E(+0)(a+x,b+x,c+x) > x+E(+0)(a,b,c)
E(1)(a+x,b+x,c+x) = x+E(1)(a,b,c)
E(2)(a+x,b+x,c+x) < x+E(2)(a,b,c)

を意味しています。最後の式は、
http://mathworld.wolfram.com/Root-Mean-Square.html
より。
これから、E(m)における不等式は、mが1より大か小かで予想できますが、これらをいっきに証明できるのでしょうか?

お礼日時：2007/07/17 16:53

No.2 回答者： masudaya 回答日時： 2007/07/17 09:16

ちなみに

G(1,2,3,4,5)≒2.6052
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒2.4681

となり成立していないようです.
また,

H(1,2,3,4,5)≒2.2833
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒4.0746

となりこちらも成立してないようです.

どちらの演算も線型性を持っていないのが明らかなので
成立しないものと思います.
ためしに,数値を代入してみれば,簡単に分かると思いますが...

この回答への補足

G(1,2,3,4,5)≒2.6052
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒2.4681

となり「成立している」ようですよ.
僕の質問文に間違いはないと思います。

補足日時：2007/07/17 14:00

この回答へのお礼

http://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMean.html

に書いてあったことなのですが。。。。

お礼日時：2007/07/17 13:40

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/17 00:26

>が成立するそうなのですが、どう示したらよいですか?

a[i], c に何の条件もなし？？

この回答への補足

a[1],a[2],,,a[n],c は正とします。

補足日時：2007/07/17 00:54