![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
a[1],a[2],,,a[n] は正とします。
相加平均を
A(a[1],a[2],,,a[n]) = (a[1]+a[2]+,,,+a[n])/n
とかきます。
A(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) = c+A(a[1],a[2],,,a[n])
となるのは明らかです。
相乗平均を
G(a[1],a[2],,,a[n]) = (a[1]*a[2]*,,,*a[n])^(1/n)
とかきます。
G(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) > c+G(a[1],a[2],,,a[n])
が成立するそうなのですが、どう示したらよいですか?
調和平均を
1/H(a[1],a[2],,,a[n]) = (1/a[1] + 1/a[2] + ,,, + 1/a[n])/n
とかきます。(左辺のHは分母にあることに注意)
H(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) > c+H(a[1],a[2],,,a[n])
が成立するそうなのですが、どう示したらよいですか?
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
細く見てもごちゃごちゃしていて分からないので
多分できていると思うから回答を示そう
d/dx(E(m;x+a,x+b,x+c)-(x+E(m;a,b,c)))
=(E(m;x+a,x+b,x+c)/E(m-1;x+a,x+b,x+c))^(1-m) - 1
命題1により
0<E(m-1;x+a,x+b,x+c)<E(m;x+a,x+b,x+c)
だから
1<E(m;x+a,x+b,x+c)/E(m-1;x+a,x+b,x+c)
よって微分式は
m<1で正1<mで負
No.7
- 回答日時:
/3が抜けていたので修正
2つの問題を整理すると
E(v;,x,y,z):=((x^v+y^v+z^v)/3)^(1/v)
とする。
[命題1]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)
は実数変数xについて単調増加である
[命題2]
mを実数としa,b,cをa=b=cでない3つの正実数としxを正実数としたとき
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
であり
1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
である
命題2は命題1を使えば簡単に解ける
結構評価できるのは命題1を解けばn項の
相乗平均<相加平均
が解けてしまうことである
この有名な不等式はコーシーが変則的数学的帰納法
(矢野健太郎の「難問解法のテクニック(絶版)」に記載)
で解いたものだが
命題1を解いてやるほうが簡単で直接的だからだ
とにかく命題1を使って命題2を解き補足に書け
命題1が分からなければその後この問題を締め切って
命題1を新規質問として登録せよ
そうすれば解けるまでヒントを段階的に与えよう
ありがとうございます。この後、命題1を新規質問として投稿します。
命題1を使って命題2を解く。
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
を示す。
左辺-右辺において、x=0を代入すると0.
よって、左辺-右辺をxで微分して正であることがいえればよい。
(1/m) * E(m;x+a,x+b,x+c)^(1-m) * mE(m-1;x+a,x+b,x+c)^(m-1) -1
E(m;x+a,x+b,x+c)^(1-m) - E(m-1;x+a,x+b,x+c)^(1-m)
=-------------------------------------------------
E(m-1;x+a,x+b,x+c)^(1-m)
1-m>0、E(m;x+a,x+b,x+c)は正、かつmに関して単調増加であるから、これは正。
よって証明できた。
1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
も同様。
No.6
- 回答日時:
この問題は思いがけずいい問題だね
2つの問題を整理すると
E(v;,x,y,z):=(x^v+y^v+z^v)^(1/v)
とする。
[命題1]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)
は実数変数xについて単調増加である
[命題2]
mを実数としa,b,cをa=b=cでない3つの正実数としxを正実数としたとき
1>mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)>x+E(m;a,b,c)
であり
1<mならば
E(m;x+a,x+b,x+c)<x+E(m;a,b,c)
である
命題2は命題1を使えば簡単に解ける
結構評価できるのは命題1を解けばn項の
相乗平均<相加平均
が解けてしまうことである
この有名な不等式はコーシーが変則的数学的帰納法
(矢野健太郎の「難問解法のテクニック(絶版)」に記載)
で解いたものだが
命題1を解いてやるほうが簡単で直接的だからだ
とにかく命題1を使って命題2を解き補足に書け
命題1が分からなければその後この問題を締め切って
命題1を新規質問として登録せよ
そうすれば解けるまでヒントを段階的に与えよう
No.5
- 回答日時:
間違った質問を訂正できたのは言いがまた質問が増えている
再質問の意味は締め切って再度質問すること
それがルール
また1質問に限るのもルール
ところで単調増加がいえるのならばそれを使って
後半の質問は回答が簡単に得られるはず
良く考えてそれを補足に示せ
それができたら
もし単調増加のヒントがほしいのならば
この質問を締め切って単調増加に限って再度質問をせよ
ただし質問は正確に簡潔にせよ
No.4
- 回答日時:
新たな質問はちゃんと整理して「正確に」に新規質問としてせよ
この質問のように2つせずに1つずつせよ
なお、この質問の導出過程を補足にかけ
できれば2題ともnの場合について補足に書け
やや煩雑になるが・・・を使えばそれほど煩雑にはならない
無理ならばn=3の場合でもよし
その場合はnへの拡張方法が見えるように式を崩さないように書け
この回答への補足
整理します。とりあえず、3変数でかきます。a,b,c,xは正とします。
E(m;a,b,c)={(a^m+b^m+c^m)/3}^(1/m)
(この部分を以前と修正)
はm乗平均といいます。
m=1のときは相加平均、lim[m→0]のときは相乗平均、m=-1のときは調和平均です。
このE(m;a,b,c)はmについて単調増加ですが、それをいうには、
logE(m;a,b,c)をmで微分したものが正であることを言えばいいですが、
2回微分まで考えてもうまくいかないで困っています。
また、m=1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) = x+E(m;a,b,c)
m>1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) < x+E(m;a,b,c)
m<1のとき、
E(m;a+x,b+x,c+x) > x+E(m;a,b,c)
と予想されますが、差をとってxで微分したものが正または負であることをいえればよいですが、これもうまくいかないで困っています。
No.3
- 回答日時:
f(c)=G(a[1]+c,a[2]+c,,,a[n]+c) -( c+G(a[1],a[2],,,a[n]))
とすると
0<cで0<f'(c)が煩雑なだけで簡単に分かる
もう1つも同様
(n,a[1],a[2],a[3],c)->(3,a,b,c,x)
として導出を補足に書け
それができればnへの一般化は猿でもできる
ありがとうございます。
微分したらできました。以下、文字はすべて正。
E(m)={(a^m+b^m+c^m)/3}^(1/3)
とすると、これはmについて単調増加です。
E(-1)≦E(+0)≦E(1)≦E(2)
は
調和平均≦相乗平均≦相加平均≦2乗平均
といったことを意味していますが、Hoehn and Niven の不等式は、
E(-1)(a+x,b+x,c+x) > x+E(-1)(a,b,c)
E(+0)(a+x,b+x,c+x) > x+E(+0)(a,b,c)
E(1)(a+x,b+x,c+x) = x+E(1)(a,b,c)
E(2)(a+x,b+x,c+x) < x+E(2)(a,b,c)
を意味しています。最後の式は、
http://mathworld.wolfram.com/Root-Mean-Square.html
より。
これから、E(m)における不等式は、mが1より大か小かで予想できますが、これらをいっきに証明できるのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
ちなみに
G(1,2,3,4,5)≒2.6052
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒2.4681
となり成立していないようです.
また,
H(1,2,3,4,5)≒2.2833
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒4.0746
となりこちらも成立してないようです.
どちらの演算も線型性を持っていないのが明らかなので
成立しないものと思います.
ためしに,数値を代入してみれば,簡単に分かると思いますが...
この回答への補足
G(1,2,3,4,5)≒2.6052
0.5+G(0.5,1.5,2.5,3.5,4.5)≒2.4681
となり「成立している」ようですよ.
僕の質問文に間違いはないと思います。
http://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMean.html
に書いてあったことなのですが。。。。
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