xy平面からuv平面へ変換するお話

簡略化して書きます。お許し下さい。
x>0,y>0,u=x＋y,v=x^2+2y^2とする。u,vの動く範囲をuv平面に図示せよ。
…v=x^2+y^2のときは毎度御馴染みよくある話ですが、対称性が崩れるとお手上げです。この問題の解答だけでなく、このような、対称性のない文字の変換問題の一般的な解法の話も交えながら教えていただけるとありがたいです。高3です。どうかよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/08/08 01:23

＞対称性のない文字の変換問題の一般的な解法

軌跡とか、変数の取る範囲とかの問題は、変換後の値を定数だと思って、元の変数の方程式と考えて与えられた条件の解が存在するような係数の範囲を求める、ってするのが一番一般的な方法です。
言葉にすると分かりにくいですね。

この問題だと、
u = x+y　　　　　(1)
v = x^2+2y^2　　 (2)
というのを、u,vは定数だと思って、x,yについての連立方程式だと考えます。で、この連立方程式が与えられた条件x>0,y>0を満たすような解をもつような、定数u,vの範囲を求めればいいわけです。

(1)より、 y=u-x (3)
y=u-x>0より、x<u
(3)を(2)に代入して、 v=x^2 + 2(u-x)^2 より、
3x^2 - 4ux + 4u^2-v = 0 (4)
これから、xについての２次方程式(4)が 0<x<u という解をもつような、係数u,vの範囲を求めれば、それが答えです。

この回答へのお礼

とてもよくわかりました！

ありがとうございました！

お礼日時：2007/08/08 09:04

No.3 回答者： Siden234 回答日時： 2007/08/08 00:41

ミスがあったので訂正します。

u=2のときのvの最大値v=8でした。
また，x=1,y=1のときv=3, x=2,y=0のときv=4となるため，
0<x<u,0<y<uの中に，
vが最小となるxとyの比率が存在するようです。
そこで，x:y=(1-a):aとなるパラメータaを定義します。
1>=a>=0です。
aの2の２次関数f(a)=(1-a)^2+2a^2の最小値を求めます。
f(a)=(a-1/3)^2+2/9より，最小になるのは
y/u=1/3のとき，つまりx:y=2:1のとき。
x=2/3u,y=1/3uですので，最小値はv=2/3u^2

計算ミスがあるかもしれませんので，検算をお願いします。

No.2 回答者： Siden234 回答日時： 2007/08/08 00:16

まず、u=0のとき　x=0,y=0よりv=0となります。

これは簡単ですね。
次にu>0のときです。u=2で試してみると気がつくんじゃないかと思いますが。
vが最大v=4になるのは，x=0,y=2（つまり,x=0,y=u）のときです。
逆にvが最小v=2になるのは，x=2,y=0（つまり,x=0,y=u）のときです。
均等に振り分けてx=1,y=1だとv=3となり，その中間の値を取ります。
x+yの総量uが決まっていて、その比重がxとyに偏ることで
vが増減(yに偏れば増大,xに偏れば減少)し、
vの最大値、最小値が決められるのです。すなわち，
Max(x=0,y=u) : v = 2u^2
Min(x=u,y=0) : v = u^2
これによって，u>0で放物線v=2u^2とv=u^2の間の領域になるんじゃないでしょうか？

まちがってたらごめんなさい。

No.1 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/08/07 22:58

>> 対称性のない文字の変換問題の一般的な解法の話も交えながら

という部分には私はお答えできないのですが、
この問題の解答のヒントを書きたいと思います。

x,y が x>0,y>0 の範囲を動くとき、u は u>0 の範囲を動きます。
では、u を固定して、x,y が x>0,y>0 の範囲を動くとき、
（もちろん、u=x+y を満たした範囲で動かす必要があります）
v はどのような範囲で動くでしょうか？