基底について

大学の問題で、どうしてもわかりません。

「Vをベクトル空間とする。n個の線型独立なベクトルがVの基底をなすための必要十分条件は、これらのベクトルに任意のベクトルを付け加えたものが線型従属になること」

を証明するための筋道がわかりません。
これは基底の定義では？と思うのですが、わかりません。
検討がつきません。
ヒントがあればお教えいただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： darkking 回答日時： 2007/08/08 03:21

これは、恐らく基底の性質の証明です。

ちなみに、基底の定義は
「線形空間Vにおいてa1～anが以下の両方を満たしているとき
Vの基底という
（1）a1～anが線形独立である
（2）a1～anがVを生成する。すなわち、Vの任意のベクトル
　ｘがa1～anの線形結合で表すことができる。」
です。

つまり、この問題は
「（2）の成立のための必要十分条件は、これらのベクトルに
任意のベクトルを加えたものが線形従属となることであると証明せよ」
と同意です。

ヒントは、a1～anと任意のベクトルｘが線形従属であると、
Vに含まれるxは線形結合で一意的に表現されます。
この定理の証明がメインではないでしょうか。

この回答への補足

ご助言ありがとうございます。
再度質問があります。
非常に初歩的な質問で申し訳ないのですが、
以下の部分がどうして、問題と同意になるのですか？
*********************************************************
つまり、この問題は
「（2）の成立のための必要十分条件は、これらのベクトルに
任意のベクトルを加えたものが線形従属となることであると証明せよ」
と同意です。
*********************************************************

もうしわけありませんがよろしくお願いします。

補足日時：2007/08/08 13:41

No.3 回答者： ujitaka 回答日時： 2007/08/10 16:58

e1,e2,…,en　をｎ個の線形独立なベクトルとします。

(→)
任意のVのベクトルｖは、ｖ＝a1e1＋…＋anenと１次結合で表せます。
右辺をすべて左辺に移項すればｖを付け加えたものが線形従属になっていることがわかります。
(←)　
Vの任意のベクトルｃに対してｔc＋b1e1＋…＋bnen＝０という自明でない関係式が成り立つ。これをｃについて解けばe1,e2,…,en　の1次結合になっている。

この回答へのお礼

お返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
ご助言ありがとうございます。
いただいたヒントを元に、自分なりに問題を解くことが出来ました。
大変助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2007/09/26 09:36

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/08/08 02:19

>これは基底の定義では？と思うのですが、わかりません。

ならばまずは基底の定義を教科書から探して、補足欄に書いて下さい。