No.6ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
皆さんの方法で良いのですが、少し違うかんじのものを示しますね。
本質的にはすべて同じ計算なので、説明の仕方が違うだけなんですよね。
nは奇数です。
a^n + b^n
= a^n
+ a^{n-1} b - a^{n-1} b
- a^{n-2} b^2 + a^{n-2} b^2
・・・
+ a^2 b^{n-2} - a^2 b^{n-2}
- a b^{n-1} + a b^{n-1}
+ b^n
これはいったい何者かというと、右辺で、
第2項+第3項=0、
第4項+第5項=0、
・・・・・
第(2n-2)項+第(2n-1)項=0
を挟んでいるだけです。
今度は組合せをかえて、
第1項+第2項 = a^{n-1} (a+b)
第3項+第4項 = - a^{n-2} (a+b) b
・・・・・
第(2n-1)項+第2n項 = (a+b) b^{n-1}
と見ると、どの組も(a+b)でくくれます。
従って、
a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2} b + - … + b^{n-1})
が得られます。
長い間お礼ができずにどうもすみませんでした。
改めて見ましてもとてもすごい回答ですね^^
これを思いつくのはすごいです。^^;
どうもありがとうございました。
No.7
- 回答日時:
A No.6です。
もう一つ別の見方を説明しますね。
a と b が何かの単位を持っていると考えるとわかりやすいです。
例えば、m(メートル)としましょうか。
a^n + b^n = (a+b) (・・・)
と書いたときに、両辺の単位が等しく m^n となるためには、
(・・・) は、m^{n-1} の単位でないといけませんね。
従って、(・・・) は、k=0,1,2, …, n-1 として、
C_k a^{n-1-k} b^k
の形の項の和になります。C_k は定数の係数です。
(因数分解できることがわかっているので、負のべきはありません。)
すなわち、
a^n + b^n = (a+b) (C_0 a^{n-1} + C_1 a^{n-2} b + … + C_{n-2} a b^{n-2} + C_{n-1} b^{n-1})
と書けます。
両辺の a^{n-k} b^k の係数を比較すると、
a^{n-0} b^0 の係数: 1 = C_0
a^{n-1} b^1 の係数: 0 = C_0 + C_1
a^{n-2} b^2 の係数: 0 = C_1 + C_2
・・・・・
a^1 b^{n-1} の係数: 0 = C_{n-2} + C_{n-1}
a^0 b^{n-0} の係数: 1 = C_{n-1}
故に、1 = C_0 = - C_1 = C_2 = ・・・= - C_{n-2} = C_{n-1} = 1
故に、
a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3} b^2 - … + b^{n-1})
が得られます。
No.5
- 回答日時:
1+r+r^2+r^3+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r) において、
r=-(b/a)とすると
nが奇数の時、
1-(b/a)+(b/a)^2-(b/a)^3+・・・・+(b/a)^(n-1)={1+(b/a)^n}/{1+(b/a)}
これから
{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}・(a+b)=a^n+b^n
つまり、nが奇数の時
a^n+b^n=(a+b)・{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}
と因数分解できる。
No.4
- 回答日時:
まず
(A)n=偶数の場合は
a^2=A,b^2=Bとおけば
A^m+B^m (m=n/2)となりますね。
mが奇数なら
(A+B)=(a^2+b^2)が因数になります。
mが偶数なら(A)の手順を繰り返します。
奇数になれば因数分解します。
kが奇数の時
a^k+b^k=(a+b)(Σ[i=1,k] a^(k-i)(-b)^(i-1))
たとえば
n=2m,m=odd(奇数)の場合
a^n+b^n=A^m+B^m=(A+B)(Σ[i=1,m] A^(m-i)(-B)^(m-1))
=(a^2+b^2)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^2(m-i)b^2(m-1))
となります。
n=4m,m=oddの場合
a^n+b^n=(a^4+b^4)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^4(m-i)b^4(m-1))
…
参考までに
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b^2)
a^5+b^5=(a+b)(a^4-ab^3+a^2b^2-a3b+b^4)
a^7+b^7=(a+b)(a^6-ab^5+a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^5b^1+b^6)
a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3)
…
a^27+b^27=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)(a^18-a^9b^9)+b^18)
…
a^4+b^4=(a^2+b^2+√2ab)(a^2+b^2-√2ab)
a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)
a^8+b^8=(a^4+b^4+√2a^2b^2)(a^4+b^4-√2a^2b^2)
a^10+b^10=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8)
…
a^30+b^30=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)(a^8-a^2b^6+a^4b^4-a^2b^4+b^6)(a^16+a^14b^2-a^10b^6-a^8b^8-a^6b^10+a^2b^14+b^16)
…
手計算では計算が面倒ですね。特に因数分解ができるか、どうかを最後まで(素因数分解できるまで)調べるのはnの次数が大きくなると、手計算だけでなく、数式ソフトを使っても大変で、時間も掛かります。
回答どうもありがとうございます。
nが偶数の時でもnによっては因数分解できたんですね。
私は何の根拠もなく、n=2、4ができないから
因数分解は奇数のみ可能だと思い込んでました。
>a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3)
これも驚きです。
nが増えれば、3項以上の因数に分解できるのですね。
予想してなかったです。
とても勉強になります。
どうもありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
>nが奇数の時の話です。
m が自然数の場合の公式、
c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)]
を使う手があります。
c=a, d=-b とおき、m=n(奇数)ならば...... 。
回答どうもありがとうございます。
『c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)』
とりあえずこの式を覚えておいて、後からd=-bに置き換えるのですね。
『c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)』は2番目の因数に符号変化がないので憶えやすく、直接導くより間違いが減りそうですね。
思い付かなかったです。
どうもありがとうございます。
No.2
- 回答日時:
帰納法的に考えるってのはどうでしょ?
例えば
n = 1: a^n + b^n = (a+b)・1
n = 3: a^n + b^n = a(a^2 - b^2) + b^2(a^1 + b^1) = (a+b)[a(a-b)] + b^2[(a+b)・1]
= (a+b) (a^2 - ab + b^2)
n = 5: a^n + b^n = a^3 (a^2 - b^2) + b^2(a^3 + b^3) = (a+b)[a^3(a-b)] + b^2[(a+b)(a^2 - ab + b^2)]
= (a+b) (a^4 - a^3b + a^2 b^2 - ab^3 + b^4).
一般的に
a^n + b^n = a^(n-2) (a^2 - b^2) + b^2 (a^(n-2) + b^(n-2))
ですね.
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