Σxy＝ΣxΣyは成り立ちますか？

数学の問題なのですが、Σxy＝ΣxΣyという等号は成り立ちますか？
Σは総和の記号で、x,yは共にΣによって足される変数です

No.3 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/18 02:05

こんにちは。

それはひとえに、和の範囲がどうか？ということによります。

ΣxΣy の意味も微妙で、(Σx)・(Σy) の意味か、Σ(xΣy) の意味かで成立つかどうかが変わる場合があります。（普通は(…)をつけなくても、和の範囲が明確であるため、もしくは文脈から、どちらの意味か判断できます。またどちらに解釈しても成立つ場合には(…)は必要ありません。）

ご質問文には Σ の範囲が書かれていないので、仮に

Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} xy
= Σ_{0≦x≦N} x ・Σ_{0≦y≦M} y
= Σ_{x=0}^N x ・Σ_{0=y}^M y

という意味だとします。「_」は下付き、「^」は上付きを意味します。

そういう意味なら成立ちます。

[証明]

Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} は 0≦x≦N, 0≦y≦M の範囲を満たす (x,y) のすべてについて、xy の和をとれということなので、

Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} xy

= 　　0・0 + 0・1 + 0・2 + ・・・・・ + 0・(M-1) + 0・M
　　+ 1・0 + 1・1 + 1・2 + ・・・・・ + 1・(M-1) + 1・M
　　+ 2・0 + 2・1 + 2・2 + ・・・・・ + 2・(M-1) + 1・M
　　+ ・・・・・
　　+ N・0 + N・1 + N・2 + ・・・・・ + N・(M-1) + N・M

= 　　0・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
　　+ 1・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
　　+ 2・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
　　+ ・・・・・
　　+ N・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]

= 　　0・Σ_{0≦y≦M} y
　　+ 1・Σ_{0≦y≦M} y
　　+ 2・Σ_{0≦y≦M} y
　　+ ・・・・・
　　+ N・Σ_{0≦y≦M} y

= ( 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ N ) ・Σ_{0≦y≦M} y

= Σ_{0≦x≦N} x・Σ_{0≦y≦M} y

（証明終わり）

ちなみに、この場合は、Σ_{0≦x≦N} (x Σ_{0≦y≦M} y) にも等しくなります。


例えば、次の場合は、Σxy = Σx・Σy は成立ちません。

Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦x} xy
= Σ_{0≦x≦N} ( x Σ_{0≦y≦x} y )
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦N} y)

Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M, x≠y } xy
= Σ_{0≦x≦N} ( x Σ_{0≦y≦M,y≠x} y )
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦M} y)

Σ_{0≦x=y≦N} xy
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦M} y)

などです。

和の中で、x と y が独立に変化していない場合は、掛け算に分解できないです。ANo.1とANo.2のご回答は、独立に変化していない例を示していて、その場合は、一般には Σxy = (Σx)(Σy) は成立ちません。

No.2 回答者： chiezo2005 回答日時： 2007/08/18 01:35

成り立ちません。

簡単な例で
x1=2,X2=3
y1=5,y2=6
でやってみても
左辺は
(2*5)+(3*6)=28
右辺は
(2+3)*(5+6)=55
ようするに3*5と2*6が左辺には無いからです。

No.1 回答者： mmk2000 回答日時： 2007/08/18 01:12

Σn^2

と
Σn×Σn
は同じではないということで成り立たないですね。詳細の証明は非常に面倒ですが
(x1y1+x2y2+・・・+xnyn)
(x1+x2+・・・+xn)(y1+y2+・・・+yn)
この2つは等しくありませんね。