平行四辺形

こんにちは。
平行四辺形の問題で質問があります。
ＡＢ＝3、ＢＣ＝5、対角線ＡＣ＝6の平行四辺形があり、対角線ＢＤの長さはＢＤ＝？である。求めよ。
という問いです。答えは４√２（４ルート２）です。
どうしてもわからないので、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/08/31 15:50

流れ

△ABCに余弦定理を適用すると、cos∠ABCが分かる。
∠ABC+∠BCD=180°より、cos∠BCDが分かる。
△BCDに余弦定理を適用して、BDが分かる。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。
あと、ひとつ質問いいでしょうか。
平行四辺形の対辺はいつでも同じ長さなんでしょうか。計算の時は同じ長さとして求めました。
平行四辺形の図形自体に疑問を持っていまして…。基本的なことをお聞きしてすみません。

お礼日時：2007/08/31 16:15

No.6 回答者： zk43 回答日時： 2007/08/31 19:37

一応補足

平行四辺形とは何か？
相対する辺が平行な四角形。

ひとつ対角線を引いてできる二つの三角形において、錯角が等しいこと
と、一片を共有することから、一辺とその両端の角が等しいので、この
２つの三角形は合同になる。よって、相対する辺の長さは等しい。

何となく当たり前に思えることでも、定義に戻って、証明してみるこ
とは重要と思います。定義なのか、定理なのかごちゃまぜになって、
だんだん数学が苦手になることは多いので。

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾
この問題で平行四辺形について理解できました。
２度も回答していただいて、感謝です！

お礼日時：2007/08/31 21:24

No.5 回答者： pirakin 回答日時： 2007/08/31 16:52

定理を使った解き方です。

覚えてしまえば、すごく簡単です。

まず、『平行四辺形の対角線は、互いの中点で交わる』ということは、
ご存知だと思います。
よって、この中点をMと置きます。

次に、『（バップスの）中線定理』を使います。
『（バップスの）中線定理』は、この問題で言うと、
AB^2 + BC^2 = 2×(BM^2 + AM^2)　となります。
『平行四辺形の対角線は、互いの中点で交わる』ので、
AM = CM = 6/2 = 3
これを定理に当てはめて計算すると、BM=2√2
よって、BD = 2×BM = 4√2　となります。

『（バップスの）中線定理』は、覚えておくととても便利ですので、
ぜひこれを機会に覚えてはいかかですか？

この回答へのお礼

中線定理を用いる方法もあったのですね、わかりやすかったです。
ありがとうございました＾＾

お礼日時：2007/08/31 21:22

No.4 回答者： debut 回答日時： 2007/08/31 16:38

この平行四辺形の右側に辺ＤＣをくっつけて合同な

平行四辺形ＤＣＥＦを作る。
ＤからＢＣに垂線ＤＨを引いて、ＣＨ＝ｘ、ＢＤ＝ｙ
とすれば、
△ＤＨＣと△ＤＨＥのＤＨが共通だからそれぞれの三角形
で三平方の定理を使えば、
９－ｘ^2＝36－(ｘ＋５)^2　→∴ｘ＝1/5
△ＤＢＨで三平方の定理を使えば
ｙ^2＝(５－ｘ)^2＋(９－ｘ^2)＝－10ｘ＋34
よって、ｙ^2＝32
と、いろいろ方法は考えられます。

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2007/08/31 21:12

No.3 回答者： Bonvoyajyu 回答日時： 2007/08/31 16:31

＞平行四辺形の対辺はいつでも同じ長さなんでしょうか？

等しいです。平行四辺形の特徴の一つですから。
（２組の対辺はそれぞれ長さは等しい。又対角も等しいです。）

平行四辺形は平行な２組の辺によって成り立ちます。
平行な辺同士が交わってできるので辺の長さも等しくなるのです。

仮に平行になってても１組の辺の長さが違ってたとしましょう。
これは平行四辺形ではなく台形になってしまいます。
言葉で表現するよりは実際図を書いて確認されると分りやすいと思いますよ。

この回答へのお礼

そうですね！
丁寧にありがとうございました＾＾

お礼日時：2007/08/31 16:36

No.2 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/31 16:06

△ＡＢＣの面積と△ＡＢＤの面積をヘロンの公式で表します。

両者の面積は同じなのでＢＤの長さは簡単に求まります。

この回答へのお礼

へロンの公式、、習いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/31 16:25