ＳＰＩの確率問題

ＳＰＩで出題された問題で、内容はこの様な感じです。
解説付きでお願いできますでしょうか。
5人の中から1人代表を決める時、5本のうち1本当たりが入っているくじを順番にひく。
(1)３番目にくじを引く人が代表になる確率（引いたくじは元にもどさない）
(2)今度は引いたくじを元にもどす。だれかが当たりくじを引いた時点でその人を代表者にする。3番目にくじを引く人が当たりを引く確率。
どうぞお願い致します。

No.3 回答者： k_maisan 回答日時： 2007/09/26 10:32

(2)について５人とも外れた場合に付いて記述がなかったのですが、５人外れた場合は最初から同じ条件でやり直すものとして、3番目の人が当たる確率を計算しました。

まず、１周目で３番目の人があたる確率ですが、これはNo.1さん、No.2さんの回答どおり、16/125になります。
３番目の人が１周目で外れた場合、３番目の人が当たるには、４番目、５番目の人も外れて２週目以降に進む必要があります。２週目に進む確率は５人連続外れる確率ですので、(4/5)^5 = 1024/3125 になります。
よって、２週目で引く確率は、(1024/3125) x (16/125)。同様に3週目で引く確率は、(1024/3125)^2 x (16/125)。以下５人連続で外れる部分の累乗が増えていきます。

　これは、初項16/125 公比 1024/3125 の等比数列の和ですので求める確率は、
　(16/125) / ( 1 - 1024/3125)
= (400/3125) / ((3125-1024)/3125)
= 400/2101
となります。

ついでに、１～５番目の人があたる確率をそれぞれ求めてみます。上の初項が、それぞれ 1/5,4/25,16/125,64/625,256/3125ですので同様に計算すると
１番目の人：625/2101
２番目の人：500/2101
３番目の人：400/2101
４番目の人：320/2101
５番目の人：256/2101
となります。もちろん合計すると１になります。

No.2 回答者： yoshi170 回答日時： 2007/09/25 14:50

(1)は

最初の人がはずれの確率→4/5
次の人もはずれの確率→3/4
3番目の人の当たる確率→1/3
をかければよいので、4/5×3/4×1/3=1/5になります。

(2)に関してですが、
最初の人がはずれの確率→4/5
次の人もはずれの確率→4/5
3番目の人の当たる確率→1/5
をかけて、4/5×4/5×1/5=16/125になりますが、3番目の人も、4番目の人も、5番目の人も外れると最初に戻りますよね。それも考慮するとなるともっと細かい計算が必要になります。

No.1 回答者： nobby-frog 回答日時： 2007/09/25 14:43

（１）について、思考的に考えるならば、5人が1本ずつ引いて当たりになる確率と同義なので1/5です。

　数学的に考えるなら、一人目外れ、二人目外れ、三人目当たりの確立は
　4/5（外れる確立）　×　3/4（外れる確立）　×　1/3（当たる確立）　＝　1/5

（２）は数学的にしか考えれませんでしたが、
　4/5（外れる確立）　×　4/5（引いたのを戻して外れる確立）　×　1/5（当たる確立）
　＝16/125

となると思います。