ラプラス変換です

関数x(t)が
　tx''＋x'＋x＝0 x(0)＝1、 x'(0)＝-1
を満たすものとする。
与えられた微分方程式と初期条件を満足するX(s)を求めたいです。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/08/28 09:42

Ｘ（ｓ）≡Ｌ［ｘ（ｔ）］（ｓ）≡∫（０＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）とする

Ｌ［ｘ’（ｔ）］（ｓ）＝ｓ・Ｘ（ｓ）－ｘ（０）＝ｓ・Ｘ（ｓ）－１

Ｌ［ｘ”（ｔ）］（ｓ）＝ｓ＾２・Ｘ（ｓ）－ｓ・ｘ（０）－ｘ’（０）＝ｓ＾２・Ｘ（ｓ）－ｓ＋１

Ｘ（ｓ）の定義式をｓで微分すると
Ｘ’（ｓ）＝－∫（０＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
すなわち
Ｌ［ｔ・ｘ（ｔ）］（ｓ）＝－Ｘ’（ｓ）
とくにｘ（ｔ）としてｘ”（ｔ）を選べば
Ｌ［ｔ・ｘ”（ｔ）］（ｓ）＝－Ｌ［ｘ”（ｔ）］’（ｓ）＝－（ｓ＾２・Ｘ（ｓ）－ｓ＋１）’
＝－ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）－２・ｓ・Ｘ（ｓ）＋１

ｔ・ｘ”（ｔ）＋ｘ’（ｔ）＋ｘ（ｔ）＝０
の両辺をラプラス変換すると
－ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）－２・ｓ・Ｘ（ｓ）＋１＋ｓ・Ｘ（ｓ）－１＋Ｘ（ｓ）＝０
すなわち
Ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）＋（ｓ－１）・Ｘ（ｓ）＝０
これを解いて
Ｘ（ｓ）＝Ｃ・ｅｘｐ（－１／ｓ）／ｓ
ラプラス逆変換すればＣ＝１が分かる
従って
Ｘ（ｓ）＝ｅｘｐ（－１／ｓ）／ｓ

この回答へのお礼

前回の常微分のときもお世話になりまして
どうもありがとうございます。
また何かあったらよろしくお願いします。

お礼日時：2002/08/28 19:30

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2002/08/28 10:12

わざわざラプラス逆変換するより初期値定理を使った方がスマートですね

１＝ｘ（０）＝ｌｉｍ（ｓ→∞）・ｓ・Ｘ（ｓ）＝ｌｉｍ（ｓ→∞）・Ｃ・ｅｘｐ（－１／ｓ）＝Ｃ

No.3 回答者： nubou 回答日時： 2002/08/28 09:13

ｘ（ｔ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・Ｃ［ｎ］・ｔ＾ｎとする

ｘ’（ｔ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・Ｃ［ｎ＋１］・（ｎ＋１）・ｔ＾ｎ
ｔ・ｘ”（ｔ）＝Σ（１≦ｎ＜∞）・Ｃ［ｎ＋１］・（ｎ＋１）・ｎ・ｔ＾ｎ
ｘ（０）＝１よりＣ［０］＝１
ｘ’（０）＝－１よりＣ［１］＝－１
従って
ｔ・ｘ”（ｔ）＋ｘ’（ｔ）＋ｘ（ｔ）＝
Σ（１≦ｎ＜∞）・（Ｃ［ｎ＋１］・（ｎ＋１）＾２＋Ｃ［ｎ］）・ｔ＾ｎ
従って１≦ｎにおいて
Ｃ［ｎ＋１］・（ｎ＋１）＾２＋Ｃ［ｎ］＝０
従って０≦ｎにおいて
Ｃ［ｎ］＝（－１）＾ｎ／（ｎ！）＾２
従って
ｘ（ｔ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・（－１）＾ｎ／（ｎ！）＾２・ｔ＾ｎ
ｘ（ｔ）をラプラス変換して
Ｘ（ｓ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・（－１）＾ｎ／（ｎ！）／ｓ＾（ｎ＋１）
Ｘ（ｓ）＝ｅｘｐ（－１／ｓ）／ｓ

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2002/08/28 08:16

Ｘ（ｓ）＝Ｃ・ｓ・ｅｘｐ（－１／ｓ）－２・ｓ＋２

においてｘ（ｔ）がまともな関数になるにはＣ＝２であるから
Ｘ（ｓ）＝２・ｓ・ｅｘｐ（－１／ｓ）－２・ｓ＋２
ラプラス逆変換して
ｘ（ｔ）＝２・Σ（０≦ｋ＜∞）・（－１）＾ｋ／（ｋ＋１）！／ｋ！・ｔ＾ｋ
しかし
ｘ（０）＝１となるがｘ’（０）＝－１／３であるので
結局どっかで間違えたみたいですね

No.1 回答者： nubou 回答日時： 2002/08/28 07:54

Ｘ（ｓ）≡Ｌ［ｘ（ｔ）］（ｓ）≡∫（０＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）とする

Ｘ（ｓ）の定義式をｓで微分すると
Ｘ’（ｓ）＝－∫（０＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
すなわち
Ｌ［ｔ・ｘ（ｔ）］（ｓ）＝－Ｘ’（ｓ）

Ｌ［ｘ’（ｔ）］（ｓ）＝ｓ・Ｘ（ｓ）－ｘ（０）＝ｓ・Ｘ（ｓ）－１

Ｌ［（ｔ・ｘ（ｔ））”］
＝ｓ＾２・Ｌ［ｔ・ｘ（ｔ）］（ｓ）－ｓ・（０・ｘ（０））－［（ｔ・ｘ（ｔ））’］（ｔ＝０）
＝ｓ＾２・Ｌ［ｔ・ｘ（ｔ）］（ｓ）－ｘ（０）
＝－ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）－１

ｔ・ｘ”（ｔ）＋ｘ’（ｔ）＋ｘ（ｔ）＝０
の両辺をラプラス変換すると
－ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）－１＋ｓ・Ｘ（ｓ）－１＋Ｘ（ｓ）＝０
すなわち
Ｓ＾２・Ｘ’（ｓ）＝（ｓ＋１）・Ｘ（ｓ）－２
これを解いて
Ｘ（ｓ）＝Ｃ・ｓ・ｅｘｐ（－１／ｓ）－２・ｓ＋２

これをラプラス逆変換して初期条件を使えばいいような気がしますが変な式になったのでどっかで間違えたかな？