No.1
- 回答日時:
微小面積を作って,それを領域で積分します.
円の場合は円環を半径方向に積分し,三角形は微小長方形を積分します.
台形でなく長方形で良いのは,三角形がまっすぐな線分で囲まれているからです.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>具体的な数式を教えてほしいです
底辺b,高さhの三角形の,底辺を軸とした断面二次モーメントIを例とします.
底辺からの距離をxとし,その部分での底辺以外の2本の線分の間の距離をl(x)とすると,
l(x)=b-(b/h)x
ですね.この位置での高さdxの微小長方形の面積をdSとすれば,
dS=l(x) × dx
=(b-(b/h)x)dx
この微小長方形の断面二次モーメントdIは,
dI=x^2 × dS
従って,上記の三角形の断面二次モーメントIは,積分範囲は0~hで,
I=∫dI
=∫x^2dS
=∫x^2(b-(b/h)x)dx
=(bh^3)/3 - (bh^3)/4
=(1/12)bh^3
お書きになったのは,図心を通る軸周りの断面二次モーメントの公式だと思われますので,
上記のIを,図心までずらした断面二次モーメントをI’とします.
I’=I-(h/3)^2×bh/2
=(1/36)bh^3
となります.
図心を通る断面二次モーメントが最小であることに注意して下さい.
(だから上記は「I+・・・」ではなく「I-・・・」となっている.)
同じように,円の場合は,極座標で考えて半径rの位置にある円環の微小面積dSは,
dS=π(r+dr)^2 - πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2 - r^2)
≒2πrdr
となります.ここで高次の微小項(dr^2)は無視しています.
あとはご自分で鍛錬をば.
但しこちらは極座標であることに注意して下さい.
この回答へのお礼
お礼日時:2007/10/31 04:02
なるほど、自分でやっても全然計算が合わないと思っていたのはず新を通る軸周りのモーメントということだったのですね^^;円のほうもなんとかできそうです、ありがとうございました
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