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方形波の奇数次高調波が多く含まれるとなぜ、不快感を与えるような音になるのでしょうか?

A 回答 (1件)

物理のジャンルの質問としては おかしいです



高調波成分(特に奇数次)が多いから方形波になるのです

不快感云々は 心理学等の範疇なのでは

不快感を感じる音を解析すると高調波成分が大きい は 物理学ですが
なぜ不快感を感じるのかは 心理学・人間工学等・・・
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Q方形波の仕組み

方形波が基本正弦波と奇数次高調波の和でできてることを説明できません・・・。

Aベストアンサー

どういう説明が適切なのかよくわかりませんが、このようなケースはフーリエ級数で議論されるのが一般的ですからそれに準じて説明すると、、、
波の分解ということであればフーリエ級数を使うとよく分かると思います。フーリエ級数というのは一口で言えば三角関数を無限個寄せ集めれば関数f(x)を近似できるというものですね。
今-L/2<x<L/2の領域で定義された連続関数f(x)を考えます。この関数をフーリエ級数で書くと
f(x)=(1/2)a0+Σ{ancos(2πnx/L)+bnsin(2πnx/L)} (1)
となります。但しΣはn=1からn=∞までの和をとります。
各係数は
an=(2/L)∫dxf(x)cos(2πnx/L)  (2)
bn=(2/L)∫dxf(x)sin(2πnx/L)  (3)
(n=0,1,2,・・・)
となります。但し、積分範囲は[-L/2~L/2]。

さて、問題の方形波をf(x)として、簡単のために
 f(x)=1・・・-π<x<0
   =0・・・x=0,±π
   =-1・・0<x<π
とします。この場合f(x)は(1)より
 f(x)=(1/2)a0+Σ{ancos(nx)+bnsin(nx)}  (4)
となり、各係数は
 an=(1/π)∫dxf(x)cos(nx)  (5)
 bn=(1/π)∫dxf(x)sin(nx)  (6)
 (n=0,1,2,・・・)
となります。そこで具体的に係数を計算すると、f(x)は奇関数という条件から
 an=0,(n=0,1,2,・・・)  (7)
となります。また、
 bn=(1/π)∫[-π,0](-1・sin(nx))dx
   +(1/π)∫[0,π](sin(nx))dx
  =(2/π)∫[0,π]sin(nx)dx
  =(2/π)[0,π][(cos(nx)/n)]
  =0・・・n:偶数
   4/(πn)・・・n:奇数   (8)
となって、結局
 f(x)=(4/π)[sinx+sin3x/3+sin5x/5+・・・]  (9)
これは基本正弦波と奇数次高調波の和で表されることになりますね。近似を良くするには最低10個以上の正弦波の足し算が必要と思います。
  

どういう説明が適切なのかよくわかりませんが、このようなケースはフーリエ級数で議論されるのが一般的ですからそれに準じて説明すると、、、
波の分解ということであればフーリエ級数を使うとよく分かると思います。フーリエ級数というのは一口で言えば三角関数を無限個寄せ集めれば関数f(x)を近似できるというものですね。
今-L/2<x<L/2の領域で定義された連続関数f(x)を考えます。この関数をフーリエ級数で書くと
f(x)=(1/2)a0+Σ{ancos(2πnx/L)+bnsin(2πnx/L)} (1)
となります。但しΣはn=1からn=...続きを読む

Q三角波のフーリエ級数

三角波をフーリエ級数で表すときsin(2n-1)ωtというのが出てきます。2n-1とする仮定が分かりません。三角波のフーリエ級数表示の導出を教えて下さい。もしくは、それがあるHPを教えて下さい。

Aベストアンサー

回答から先に。一般的なフーリエ級数展開については、参考URLで確認して下さい。これをそのまま三角波に適用するだけです。ただ、これについてはご存知なのでしょうね、きっと。

ichiro0000さんが勉強したテキストでは、「基本数の偶数倍の高調波は出ない」という仮定をおいて算出しており、その仮定がどこから出てくるか?という質問だと思います。

その仮定は、正弦波と三角波のグラフを並べて描いて見比べれば解ります。どちらも奇函数なので、半周期(0~T/2)にだけ注目します。すると、そのグラフは1/4周期(T/4)の前と後では対称になっていますよね。次に、基本周波数の二倍・三倍の高調波のグラフも描いて同じことをして下さい。同じような対称を示すのは三倍の高調波です。偶数倍の高調波はその対象性がありません。したがって、偶数倍の高調波成分が入り込むとその対象性が崩れてしまい、三角波には収束し得ない、ということがわかると思います。

私もかつてそうであったように「偶数倍の高調波がたくさん入れば、お互いにキャンセルしあって、対象性の崩れも元に戻るのではないか?」という疑問を持たれるかもしれません。が、それは有り得ません。それを理解するには、函数の直交性・フーリエ級数の収束について理解する必要があります。それ相応の専門書でみっちり学んで下さい。
そうでなければ、別に質問を立てて下さい。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/tomka/fourier1.html

回答から先に。一般的なフーリエ級数展開については、参考URLで確認して下さい。これをそのまま三角波に適用するだけです。ただ、これについてはご存知なのでしょうね、きっと。

ichiro0000さんが勉強したテキストでは、「基本数の偶数倍の高調波は出ない」という仮定をおいて算出しており、その仮定がどこから出てくるか?という質問だと思います。

その仮定は、正弦波と三角波のグラフを並べて描いて見比べれば解ります。どちらも奇函数なので、半周期(0~T/2)にだけ注目します。すると、そのグラフは1/4...続きを読む

Q方形波をフーリエ変換した理由と分かる事

A――――――――
|       | 
=       |   
|B       発振器
>       |   
<       | 
――――――――
C
AC間とコンデンサーの両端の電圧波形とスペクトル波形があります。(400Hzと4kHzの方形波を流しました。)何が何故最初のピークの奇数倍となってるのでしょうか?またフーリエ変換した理由が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

フーリエ変換する理由はスペクトルアナライザでスペクトルを観測しているから計算結果と比較できるからです。

方形波をフーリエ級数展開したあとフーリエ変換すれば奇数倍の理由はわかります。

補足に方形波をフーリエ変換した結果を書いてみてください。


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