歯ブラシ選びの大事なポイントとは?

開集合は可算個の開区間の和で書けることの証明が知りたい
のですがどなたか式を使って示してもらえないでしょうか

A 回答 (6件)

>どう判断しているのか知りませんが。



簡単ですよ.だれもあなたの頭の中や,
実生活の立場や周囲の環境はわかりません.
書かれていることだけしか見えません.
「証明が知りたいので示してください」
といい,思考の経過や背景を省略しているのを
「丸投げ」というのです.

>式を使ってというのは口頭の説明だけでは納得しない
>人達もいるからです。
というのであれば,あなたが納得させることができなかった
「口頭の説明」というのを書けばよいだけのことなのです.

閑話休題と修正.
>「実数の普通の位相での,任意の開集合は
>可算個の開集合の和集合で表わせる」
可算個の開区間の和集合で表わせる
ですね.間違えました.

それとNo.4さんの議論だと非有界な開集合というか
開区間に対しては問題が残りますね.
s,tが取れないケースが存在しますから.
もっともこんなのは本質じゃないですが.

実際,この問題の本質は
(0,1)に有理数は可算個しか存在しない
ということにすぎません.
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>それとも簡単なので自分で考えよという意味でしょうか?


>ここはわからない問題を質問する場なのでしょう。
>上記の質問の意図がわかりかねます
簡単だよ~ん。という意味です。

わからない箇所が特定されていないので、それはすなわち丸投げということです。(丸上げじゃないよ)

この回答への補足

それなら直接そう書いていただければ結構。
嫌味ったらしく書く必要はございません。

補足日時:2007/11/26 11:44
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Oを開集合とすると、Oの任意の点xは内点なので、xのある開近傍


(x-ε、x+ε)はOに含まれている。
xを動かして考えれば、O⊂∪(x-ε、x+ε)
(ここに、εはxに依存する。)
逆向きの包含関係は明らかだから、O=∪(x-ε、x+ε)
すなわち、Oは開区間の和集合として表せる。
問題は、この中から可算個を選べるかどうかである。
x∈Oに対して、xを含む開区間で、O内に収まるような最大の開区間
を考える。
つまり、(x-s、x]がO内に収まるような最大のs(正確には上
限)、[x、x+t)がO内に収まるような最大のtを考える。
すると、Oは開区間(x-s、x+t)の和集合になっている。
(もちろん、s、tはxに依存する。)
ここで、このような開区間全体の集合の中で、異なる2つの開区間、
(x-s、x+t)と(y-u、y+v)をとり、もし、この2つ
の開区間に交わりがあるとすると、x、yを含む開区間でOに含まれる
開区間の幅が(x-s、x+t)、(y-u、y+v)より大きいもの
が存在することになり、s、t、u、vの最大性に反するので、上の
ような開区間全体の集合のどの異なる2つの開区間も交わりを持たな
い。
つまり、任意の開集合Oは、交わりを持たない開区間の和集合で表せ
る。
そして、各開区間から一つ有理数を選ぶと(有理数の稠密性から必ず
取れる)、各開区間は交わりを持たないことから、これらの有理数は
どれも異なり、したがって、開区間全体の集合から、有理数全体の
集合への単射が構成されることになる。
よって、有理数全体は可算集合なので、この開区間全体の集合も可算
集合である。
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丸投げにしか見えないのが問題.


#No.1さんはそれを暗に指摘しているだけでしょう

任意の開集合が「開区間」の和になるはずはないから
正しくは
「実数の普通の位相での,任意の開集合は
可算個の開集合の和集合で表わせる」
ということでしょう.

証明の方針というか,キモの部分は以下の通り.
ただし,質問者の学習段階が一切不明なので
とりあえず一般の場合を考えます.
(1) 実数の任意の開集合は「開区間」の和集合である.
正確には以下の通り.
実数の任意の開集合に対して連結成分分解をすると
各連結成分は開集合であり,
実数の連結な開集合は開区間である
(2) 連結な開区間はすべて開区間(0,1)と位相同型である
(3) 開区間(0,1)は有理数を「中心」とする
微小な開集合の和集合で表わせる
(4) 有理数の集合は可算無限集合
(5) 有理数の集合は実数の集合の中で稠密
ここまでいえば自明でしょう.

テクニカルタームでいえば
「実数は可算開基を持つ」ということです.
「可算開基」で調べると一番シンプルなケースとして
今回の内容がでてるかもしれません.
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この回答へのお礼

説明ありがとうございます。
しかしこれは丸上げなどではありません。
どう判断しているのか知りませんが。
式を使ってというのは口頭の説明だけでは納得しない
人達もいるからです。式でも表せるようにしたいと思ったまで。
自分の書き方が悪かったのもありますがNo1さんはどうみても
嫌味にしか見えないですね。

お礼日時:2007/11/22 00:04

ココ↓のP34辺りが参考になるかと思います。

一度ご覧ください。

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Lebesgue.pdf

参考URL:http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Lebesgue.pdf
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自分で証明ができない事情でもおあり?

この回答への補足

わからないのですよ。
それとも簡単なので自分で考えよという意味でしょうか?
ここはわからない問題を質問する場なのでしょう。
上記の質問の意図がわかりかねます

補足日時:2007/11/21 18:10
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よろしくお願いします。m(__)m

Aベストアンサー

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ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
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直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
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属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

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とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
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とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

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xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
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正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
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という関係が出ますね。
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<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
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広域積分でも検索すれば参考になるかも。

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={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

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私としては、1点でもいいと思います…。

ちゃんとした回答じゃありませんが、参考までに。。

Q測度論の非可測集合って何?

実数の定理でしょうか? 興味がかきたてられます。
stomachmanさん、ぜひ回答をお願いします。
(全然急ぎでなくて結構です)
もちろんstomachmanさん以外の方も、回答をお待ちしています。

Aベストアンサー

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非可測集合とバナッハ-タルスキーの定理。どちらも実務の計算とは無縁のものです。純粋数学の中にだけ現れ、直接の応用はないと思ってください。ご専門の方、ご笑覧の上フォローおねがいします。

 長さ・面積・体積といった広がりを測る概念(測度)との関連で、無限というものの「曲者性」が現れた現象のひとつが非可測集合です。さて、非可測集合とは、という話は教科書を見ていただくとして(ルベーグ積分、測度論、ボレル集合、などをキーワードにして探してみてください)、ここではなるべくいいかげんな説明と、いかにへんてこであるかの例を示すだけで勘弁して戴こうと思います。(いや、勘弁して戴きます!とても易しくかつ正確に説明するなんてできないや。)


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 この正方形の中の点(x,y)のうち、xもyも有理数であるような点だけを集めた集合を考えます。この集合の「面積」はゼロ。もうびっくり? 有理数は自然数と1:1対応が付きますから、たかが可算無限個しかない。実数は非可算無限個。これに比べたら無視できるってわけですね。
 今度は正三角形を考えます。各辺の中点を結んで小さい正三角形を描き、この真ん中の正三角形の部分を切り抜いて捨てます。そうすると小さい正三角形3つでできた図形(どこかの食料品店のマークのような)が残りますね。このそれぞれの正三角形について、真ん中の正三角形の部分を捨て、.....と無限回やります。これは「シェルピンスキーのガスケット」という集合なんですが、非可算無限個の点を含んでいる。そして面積は0です。(なんですと?)
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 面積というのは集合Aから実数sへの関数 s = m(A) です。そして「面積」というからには、Aをいくつかに分割してそれぞれの面積を求め、合計したら、元のAの面積になって欲しいですよね。少なくとも、元のAの面積より大きくなるんじゃ話にならない。ところが、どんなに上手にmを作っても「話にならない」状況が起こってしまうことが知られています。そういうやっかいな集合Aを「非可測」と呼ぶ訳です。
 
●2次元平面の部分集合Aであって、次の(1)(2)が同時に成り立つものが存在する。
  (1)2次元平面上の任意の場所に好きな大きさの円盤を描くと(どんなに小さい円盤でも)
   Aと円盤との共通点が必ず存在する。
  (2)2次元平面上に任意の直線を描くと、この直線とAとは高々2点しか共通点がない。

このAは実は非可測集合の一例です。(1)から分かるように、Aは平面上あまねく広がっている。なのに、(2)からわかるようにすかすかなんです。幽霊みたいですね。

●非可測集合は非構成的です。つまり、具体的な作り方(アルゴリズム)を記述することが不可能なんです。(もっとも、アルゴリズムが記述できる集合は可算無限個しかありませんが...)

●でも、ニアミスするまで迫ってみましょう。今度は1次元(数直線上)の「長さ」の話です。
「実数を二つ持ってきて、x, yとします。「xとyは仲良しである」とは両者の差 x-y が有理数であるという意味だ、と決めましょう。すると実数全部を、仲良しグループに分類することができます。このようなグループは無限個できます。各グループのメンバーは皆互いに仲良しですし、他のグループのメンバーとは仲良しではありません。どんな実数もどれかのグループに入ります。
 次に、各グループから委員を1つづつ出して貰います。(ただし委員は0以上1未満であること、とします。)どの委員を2つ持ってきても、仲良しではない。委員全部を集めた委員会集合Aを作りますと、Aは非可測になります。」(どうして?というのはしんどいので勘弁してください。)

 なんだ作り方が書けるじゃないか、と思われるでしょ?でも「どうやって委員を選ぶのか」が書いてない。これが実は本質的なんです。「てきとーでいいじゃん?」と、グループひとつひとつについて委員を選んでいたのでは無限個の委員を選び終わることができません。「グループのうち、0以上1未満である数の中で最大のやつを選ぶ」というのは良いアイデアですが、残念ながらグループ内に「1未満の最大の数」は存在しないんですよ。でも何か方法がありそう? 実は、ないんです。「存在することは証明できるが、やり方は本質的に分からない。」ここがポイントです。

 数学の公理のひとつに、選択公理というものがあります。すなわち「選択公理:与えられた集合の中から、要素をひとつ選び出すことができる。」当たり前みたいな話でしょう?でもこの公理を使うと「(どうやってかは知らないけど)委員を選ぶことができる。そこで...」と論を進められます。そしてその結果、「非可測集合」や「バナッハ-タルスキーの定理」など、へんてこなものが出てくる。でも、選択公理を拒絶すると、数学のパワーがまるで弱くなる。証明できることがもの凄く少なくなってしまう。数学のかなりの部分(しかもおいしいミソの部分)は選択公理がないと成り立たないんです。(「選択公理なしでどこまで行けるか」という研究分野があるからこそ、こういう事が分かったんです。)

●こういった話は、数学基礎論(「基礎的な数学」ではなく、数学の基礎となる前提に変なところはないか、などを研究する分野)です。「超限集合論」「選択公理」「連続体仮説」「不完全性定理」などなどについて、色々一般向けの解説書が出ていますが、著者ごとに説明の仕方(読者から見れば疑問のポイント)が違いますので、乱読をお勧めします。ちなみにStomachmanが数学基礎論と出会った最初の書物は「(島内剛一)数学の基礎」(既に絶版)でした。

●なお、可測集合(面積が定義できる集合)の中にも変なのはいます。
 1辺1の正方形の部分集合Aであって、面積は1であり、しかも、この集合Aに含まれるどの点(x,y)についても、「(x,y)を通り、しかも(x,y)以外ではAと交わらないような直線が少なくとも1本引ける。」そういう可測集合Aが存在する。
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Q部分列って?

証明で,「~~なので,~~という部分列が存在する」
(たとえば,「fが非有界とする.fの非有界性より,ある部分列{tj}でf(tj)→∞というものが存在する」など)
というのを見かけますが,部分列ってなんですか?
「~~という点列が存在する」
ではだめなのでしょうか?

基本的なことで申し訳ありません.
よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

ココ↓
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
の解析学-(1)極限 をご覧になってください。点列、部分列の詳しい説明が載っています。

参考URL:http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

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上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
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この例では下極限はー1ですね。

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Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
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極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

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マクローリン級数展開

Qボレル集合族って何ですか???

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という。

つまり↓

Ω={ω1、ω2、・・・・・}

F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・}

A⊂F

A={・・・・・・・}
B={A、・・・・・・・・・・}         BはAのσ加法族
C={A、B、・・・・・・・・・・}       CはBのσ加法族
D={A、B、C、・・・・・・・・・・}     DはCのσ加法族
E={A、B、C、D、・・・・・・・・・・}   EはDのσ加法族




A∊B∊C∊D∊E・・・で、 B、C、D、E・・・はAを含むσ加法族で、

B、C、D、E・・・のうち最小なものはBなので、BはAのボレル集合族である。

ってことですかね???

よく分からないのは、ボレル集合族の条件に、Ω∊B とありますが、

私の解釈だと、Ω∊B となっていません。 ???って感じです。

ちなみに私の解釈だと、全ての集合には、そのボレル集合族が存在します。
で、ある集合がボレル集合族ということは、その集合の元を集合とする集合があるってことです・・・?


頭が悪いので、むちゃくちゃ簡単に教えてもらわないと理解出来ません。

図書館で確率論の教科書を色々呼んだんですが、難しく書かれてあって、???です。

助けて下さい。

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という...続きを読む

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ごめんんさいA^cは書き方がまずかったです。
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ボレル集合族の定義自体は書かれている通りです。
ただそれは、全集合Ωで定義されるσ加法族の一つでしかないということです。


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