「５の倍数＋１１の倍数」で作れない数字

「５の倍数＋１１の倍数」で作れない数字としての最大値は？
数式的には「5x+11y」になると思います。（ｘ、ｙともに整数）

これで決して作れない数字の最大値は何か？という問題なんですが、どういうふうに考えて「３９」という解答にたどりつけばよいのでしょうか？

ただ「できる数字」を小さなものからひらすら列記していけば４０以上がすべて作れるのは見えてきますが、なぜそうなのかが納得できません。どなたか数学音痴の私を納得させてください。よろしくお願いします。

No.7 回答者： tshmsg63 回答日時： 2007/12/20 19:51

具体例で見ていくと分かりやすいと思います。

例えば、

１５６の場合
１５６－１１×６　＝　９０　　９０は５の倍数なので、可能。

１１９の場合
１１９－１１×９　＝　２０　　２０は５の倍数なので可能。

このように、１１に１の位の数を掛けた数を引くと、残りが５の倍数になるので、５ｘ＋１１ｙにすることが可能です。

１の位の数は１以上９以下（５以外）としてよく（そうでない場合は自明ですから）、１１に１の位の数を掛けた数は最大でも９９なので、元の数が３桁以上の時は必ず、上記のような数を引くことができ、残りを５の倍数にすることが出来ます。

従って求める数は２桁以下としてよい。

９８の場合
９８－１１×８　＝　１０　（＝５の倍数）

７４の場合
７４－１１×４　＝　３０　（＝５の倍数）

このように、元々１の位の数よりも１０の位の数の方が大きい場合は必ずうまくいくことは自明ですが、次のような場合はうまくいかないので、まず５を先に引きます。

６８の場合
１１×８は引くことが出来ないので、まず５を引く。
６８－５　＝　６３　次いで同様に、
６３－１１×３　＝　３０　（＝５の倍数）

このように、１の位の数を相殺する方法に２通りありますが、そのいずれでもうまくいかない数が求める数で、

a）「元々１の位の数が１０の位の数より小さい」

b）「１の位の数が１０の位の数より大きくても、５を引くことで１の位の数が１０の位の数以下になる」

のどちらも満たさない数です。１０の位の数が４以上なら必ずこのどちらかを満たすことはすぐに分かりますので、求める数は３９以下でなければなりません。３９を実際に見てみると、

３９－５　＝　３４で、この４を消すためには１１×４を引かなければならないが、元の数を超えるので引くことが出来ない。さらに５を何度引いても、１の位は４、９の繰り返し（１０の位の数より大きい）で状況は変わらない。

以上から、３９が答えであることが分かります。

No.6 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/15 14:38

>「x,yは自然数」というべきでしたね。

すみません。
念のために言うと、「5 の倍数」と言った場合、
普通は負数の倍(-5, -10, ...) も含みます。

No.5 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/15 11:50

単純に 5x + 11y = n を解いて、解が自然数の範囲に収まるかを考えれば良いだろう。

先に指摘したように 5*(-2) + 11*1 = 1 だから

5(x+2n) + 11(y-n) = 0

5 と 11 は互いに素だから、整数 k をもって

x = 11k - 2n
y = -5k + n

ここで x ≧ 0, y ≧ 0 とすると

(2n)/11 ≦ k ≦ n/5

この範囲に整数 k が存在するような n の範囲を求めるだけです。

この回答への補足

分かる方にとって見れば当然のことが、私のような数学音痴には、「？？」のオンパレードです（；；）。
１行１行かみ締めるように読んでいますが、「だから」さえも私には「だから」にならないんですね、これが、、。
数式の意味をじっくりと考えてみます。
詳細な解説、ありがとうございます。

補足日時：2007/12/15 16:01

No.4 回答者： k_maisan 回答日時： 2007/12/15 11:23

No.3です

「以下」と「未満」の使い方を数カ所間違えています。
考え方は示したとおりです。

No.3 回答者： k_maisan 回答日時： 2007/12/15 11:19

No.1,No.2さんのご指摘通りです。

5x+11yという条件で作れる整数ですが

「x,yは整数」…どんな数字で作れます
「x,yは自然数」…５５
「x,yは０以上の整数」…３９
たぶん最後のを質問されていると思います

まず、大きい数１１に対して、小さい数以下の積を考えます。
11*0 = 0
11*1 = 11
11*2 = 22
11*3 = 33
11*4 = 44

ここで、ある大きな整数があったとして
５で割り切れる数字（４５など）…11*0+5*○
５で割って１余る数字（４６など）…11*1+5*○=11+5*○
５で割って２余る数字（４７など）…11*2+5*○=22+5*○
５で割って３余る数字（４８など）…11*3+5*○=33+5*○
５で割って４余る数字（４９など）…11*4+5*○=44+5*○
となります。

つまり、
　０以上の５の倍数
　１１以上の５で割って１余る数
　２２以上の５で割って２余る数
　３３以上の５で割って３余る数
　４４以上の５で割って４余る数
は表せられます。

では、「作れない数字の最大値」は、いちばん大きい数が条件にある「４４以上の５で割って４余る数」を見て、「４４以下の５で割って４余る数の最大」と考えます。
答えは３９…というふうに考えればいいと思います。

この回答へのお礼

早速の詳しいご回答、ありがとうございます。
ぱっと見てすぐ理解できない頭の弱さなので、じっくり読み直しながら理解するようがんばってみます。

お礼日時：2007/12/15 15:47

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/15 10:31

>数式的には「5x+11y」になると思います。

（ｘ、ｙともに整数）
x, y は自然数の誤りか？

整数なら 5*(-2) + 11*1 = 1 だから、あらゆる整数が作成可能だ。

この回答への補足

あ、そうですね。
「x,yは自然数」というべきでしたね。すみません。

補足日時：2007/12/15 14:10

No.1 回答者： aiueo95240 回答日時： 2007/12/15 10:29

問題設定に不備があります。

すべての整数が5x+11y（ｘ、ｙともに整数）で表すことができます