No.4ベストアンサー
- 回答日時:
三角関数の差の公式だけを使っても解けますね.
∠CAH=α,∠CDH=2π/3-αを使って,求めるxは
x=Cos[α]/(Cos[α]+2/3 Cos[2π/3-α])
=Cos[α]/(Cos[α]+2/3 (Cos[2π/3]Cos[α]+Sin[2π/3]Sin[α])
整理して
x=3/(2+√3 Sin[α]/Cos[α]) ...(1)
です.
一方,CHに着目すると,
Sin[α]=2/3 Sin[2π/3-α]
が成り立っており,変形すると
Sin[α]/Cos[α]=√3/2 ...(2)
です.(2)を(1)に代入して
x=6/7
です.
間に合いませんでしたか?
学校のパソコンで拝見させていただきました。みんなで見ました。先生も見ました。ベクトルは苦手なので三角関数でといてもらって、助かりました。ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
[別解]
→AB,→AC,→AD,→AHを順に→b,→c,→d,→hとし,以下ベクトル記号(→)を強調するとき以外省略する.
点DはBCを1:2に内分するから, 分点公式により
d=(1/3)(2b+c) ・・・(1)
→ACの→AD上への正射影は→AHである(∵CH⊥AD)ことより, →AH=X(→AD)に対して
(→AC)・(→AD)=(→AH)・(→AD)=X(→AD)・(→AD)=X|→AD|^2
つまり c・d=X|d|^2・・・(2)
ここで(1)より
|d|^2=(1/9)(4|b|^2+4b・c+|c|^2)
⇔|d|^2=7/9・・・(3)
[∵|b|=|c|=1, b・c=1*1*cos60°=1/2]
また(1)より
c・d=(1/3)c・(2b+c)=(1/3)(2b・c+|c|^2)=2/3・・・(4)
すると(2),(3),(4)より
2/3=(7/9)X
⇔X=6/7
正射影というものを先生に聞きました。こういう風に考えるとわかりやすいよといわれました。数学は難しいけどこんなやり方があるんだとびっくりしました。国語みたいです。ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
使う知識は
1. ベクトルの内分
2. ベクトルの内積
になります。
以下では矢印は表記しませんが、「AB」をベクトル「AB」だと見なして下さい。
[例解]
点Dは、BCを2:1に内分するので、
AD = 2/3AB+1/3AC
AH= xADとすると、
AHはCHと直交するので、
AH・CH = AH・(AH-AC) = |AH|^2 - AH・AC = 0
|AH|^2 = x^2|AD|^2 = (7/9)x^2、
AH・AC = xAD・AC = (2/3)x なので、
(7/9)x^2 - (2/3)x = (7/9)x * ( x - (6/7) ) = 0
明らかに x ≠ 0 なので、 x = 6/7
以上です。表記が見にくくてすみません。
[補足]
|AD|^2 = (2/3)^2|AB|^2 + (1/3)^2|AC|^2 + 2AB・AC
xAD・AC = x(2/3AB+1/3AC)・AC
No.1
- 回答日時:
AD(、AH)のベクトルを、ABおよびACで表現して(平面図形なので、1次独立な2つのベクトルを用いて任意のベクトルは表現できる。
ADは「内分」条件から立式可能。)直交条件を「内積=0」で立式すればどうでしょう?(ベクトルで直角が出ればとりあえずこれで)
ちなみに、中3範囲の三平方の定理とか使って、AD、AHの長さを求めてしまう、なんていう手もあるっちゃ~あるんですが。。。
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