熱伝達率について調べると、流れている空気の場合、11.6~290.7w/(m^2・k)とありますが、下記の条件の場合の熱伝達率は概算値でけっこうですので、分からないでしょうか?
表面積0.03m^2の円筒物、温度80℃、重量2kg、物質の密度7.874×10^3kg/m^3、体積0.256×10^-3m^3、比熱461J/(kg℃)
1540mm×2700mm×300mmで囲われている室内で、周りの雰囲気温度17℃、室内には17℃の空気が2.5m/secで流れている状態内に、80℃の物体が置かれている。
熱伝達率は、レイノルズ数とプラントル数などにより定義され、実験値や複雑な計算が必要と思われますが、やり方の方向性が知りたいための熱伝達率なので、大体の数値でいいので、教えて頂けないでしょうか

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A 回答 (2件)

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。


Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ~78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ~ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね?
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますので。
   (1) R = 0.0367 [m]、L = 0.242 [m]
   (2) R = 0.116 [m]、L = 0.0242 [m]

【円柱外部を冷却するときのNu数】
円柱を強制空冷する場合、空気を円柱軸に沿って流す場合と円柱側面に冷気を当てる場合では Nu(ヌセルト数)が異なりますが、普通は円柱側面に冷気を当てると思いますので、その場合の実験式は次のようになります。
   Nu = C*Re^n*Pr^(1/3) --- (1)
Re はレイノルズ数、Pr はプラントル数で
   Re = u*R/ν --- (2)
です。u [m/s] は冷気の流速、R [m] は円柱の直径、ν [m^2/s] は冷気の動粘性係数です。Pr と ν の値は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度での値を使います。Pr と ν の温度依存は[1] で計算できます。

【Nu数の実験式】
C と n は定数で、Re の値によって以下のような値をとります [2]。
     Re         C    n
   40~4000     0.683 0.466
   4000~40000   0.193 0.618
   40000~400000 0.0266 0.806
冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃~80℃の範囲にあるとき、[1] を使って動粘性係数 νを計算すると、3.3×10^(-6) ~ 9.5×10^(-6) [m^2/s] なので、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合のレイノルズ数は、式(2)で計算すると Re = 9703(20℃)~27500(80℃)の範囲になります。したがって、C と n の値は C = 0.193、n = 0.618 を使えばいいことになります。Re = 9703~27500 に対する Nu は、式(1)で計算すると 50~95 の範囲になります。

【熱伝達率とNu数の関係】
一方、Nu と熱伝達率 h [W/m^2/K] との関係は、円柱の場合
   Nu = h*R/kf
で表わされます。kf は冷媒(空気)の熱伝導率 [W/m/K] です(円柱の熱伝導率と区別するために f をつけます)。空気の熱伝導率の温度依存は [3] で計算すると、冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃~80℃の範囲にあるとき、kf = 0.026 ~ 0.030 W/m/K の範囲になります。したがって、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合の熱伝達率 h は
   h = Nu*kf/R = 35 ~78 [W/m^2/K] --- (3)
となります。これは質問文にある空気の熱伝達率の範囲に入っています。

【熱伝達率と円柱温度の関係】
考えている円柱は細長いので、内部の温度分布は一様とみなせます [4]。その場合、円柱が一定の熱伝達率で冷却されたときの円柱温度 T [℃] の時間変化は次式で表わされます。
   T = Tc *( T0 - Tc )*exp{ -h*A*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)
で表わされます。Tc は冷気温度 [℃]、T0 は円柱の初期温度 [℃]、S は冷却面積(円柱側面の表面積) [m^2] 、t は時間 [sec]、ρは円柱の密度 [kg/m^3]、cp は円柱の比熱 [J/kg/K] です。したがって、 Tc = 17 ℃、T0 = 80 ℃、S = 0.03 m^2、ρ = 7874 kg/m^3、cp = 461 J/kg/K 、V = 0.256×10^(-3) [m^3] のとき、冷気にさらされてから 20sec 後の円柱温度 T20 は以下のようになります。
   T20 = 76.9 ~ 78.6 [℃] --- (5)
これは ANo.1 での概算計算結果
   Tout = 75.9 [℃]
とほぼ同じです(やはり意外に冷えません)。

この計算はクーラのダクトから17℃の冷気が複数の円柱にまんべんなく当たっている場合ですので、ワークの配列によっては結果が違ってきます(これより冷えることはありませんが)。クーラの冷却能力を倍にした場合は、風速を倍の 5 [m/s] にすればいいはずです。式(4)で冷却時間をもっと長くしてみればどれくらいまで冷えるか計算できますが、ワークが冷やされてくると冷気との温度差がなくなっていくので、熱伝達率が一定でも、単位時間に奪われる熱量が減ってくるので、だんだん温度の下がり方が鈍くなります(式(5)で時間を変えて計算してみると分かります)。

空気の動粘性係数 ν や熱伝導率 kf、それらから計算される Re数やPr数、Nu数は、厳密には円柱温度と冷気温度の平均値での値を使わなければなりません。具体的な計算手順は、最初に、円柱温度を75℃くらいと仮定して、その温度と冷気温度の平均の46℃での物性値を使って計算し、出てきた円柱温度と冷気温度の平均温度を使って空気の物性値を補正し、また円柱温度を計算するということを繰り返せば、最終的な円柱温度が出てきます。しかし、式(5)の温度範囲は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度が 20℃~80℃とした場合の値なので、最終的な円柱温度の値は式(5)の範囲に入っているはずです。

【補足】
[1] 1気圧の空気の Pr 数はと動粘性係数 ν は、室温付近では次式で近似されます。
      Pr = 0.713 - 0.0002*t
      ν = 1.296×10^(-6) + 1.02×10^(-7)*t
   t は空気の温度 [℃] です。
[2] 谷下市松「伝熱工学」裳華房(1986)p.142.
[3] 1気圧の空気の 熱伝導率 kf [W/m/K] は、室温付近では次式で近似されます。
      kf =0.0243+0.0000741*t
   t は空気の温度 [℃] です。
[4] 円柱の体積を V [m^3]、冷却面積(側面)を A [m^2]、円柱の熱伝導率を k [W/m/K]、熱伝達率を h [W/m^2/K] としたとき
   h*V/( k*A ) < 0.1
を満たせば内部の温度分布は一様とみなせます。炭素鋼(S53C)の熱伝導率の値はWebでは見つかりませんでしたが、資料 [2] に出ている炭素鋼の値は 54 W/m/K( 0.5C以下)~36 W/m/K(1.5C)なので、45 [W/m/K] くらいとすれば、この場合、Nu = 50~95、V = 0.256×10^(-3) [m^3]、A = 0.03 [m^2] なので、h*V/( k*A ) = 0.0095~0.016 < 0.1 となって条件を見たします。谷下市松「伝熱工学」裳華房(1986)p.83.
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この回答へのお礼

大変参考になりました。有難うございました。
ヌセルト数と熱伝達率との関係、プラントル数と空気の室温との近似式など、ネット上では探せなかった関係が解り、大変勉強になりました。
やっぱり参考書を読まないと解りませんね。
これで、方向性ができましたので、設計をやっていくメドが付きました。今後も宜しくお願いします。
本当に有難うございました。

お礼日時:2008/02/21 11:15

ANo.1 です。

式(4)が間違っていました。以下が正しい式です(計算はこの式でやっています)。
【正】   T = Tc + ( T0 - Tc )*exp{ -h*S*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)
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Aベストアンサー

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エネルギー,仕事,熱量は物理的に同じ性質の量で,
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こういうのを「次元の同じ量」と言います.
「次元」は3次元,4次元というように,
空間の独立方向の数を表す場合にも使われますが,
上で言いました次元とは別の概念です.

さて,従来,エネルギーと仕事にはジュール [J],
熱にはカロリー [cal] という単位が使われてきました.
1 [cal] = 4.18605 [J] という関係があります.
でも,同じ次元の量には統一した一つの単位を使うのが望ましいわけで,
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当然のことながら,電気料金は使ったエネルギーに対して
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例えば,棒状試料の側面を断熱して両端に温度差をつけます.
当然,高温側の端から低温側の端へ熱が流れます.
温度差に対してどれくらいの割合で熱が流れるかを表すのが
熱伝導率です.
電気伝導のオームの法則は
ΔV = R I  (電位差 ΔV,電気抵抗 R,電流 I)
ですが,全く同様に熱伝導に関して
ΔT = R_T J  (温度差 ΔT,熱抵抗 R_T,熱流 I)
です.
棒状試料ですと,電気抵抗は断面積 S に反比例し長さ L に比例しますから
R = ρL/S
と書いて,ρを電気抵抗率,その逆数 σ=1/ρ を電気伝導率と呼んでいます.
熱の場合も全く同様で
R_T = ρ_T L/S
と書いて,ρ_Tが熱抵抗率,その逆数 κ=1/ρ_T が熱伝導率です.
物質が決まればκが決まりますので,それで物性値といいます.

一方,熱伝達率(通常は表面熱伝達率を指すようです)は
物体表面から熱が失われてゆく(周囲の方が物体より低温だとして)ことに関係しています.
同じ物体を同じ温度に保ち,さらに周りの温度が同じでも,
失われる熱量の割合は周囲の環境によって違います.
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摂氏零度の冷蔵庫に入れるのが早く冷えるか,どちらでしょう.
もちろん,氷水です.
同じ物体,同じ周囲温度でも,環境によって全然違うわけです.
こういうわけで,熱伝達率は対象とする物質のみでは決まらず,
周囲の環境に大きく依存します.
それで物性値ではないというのでしょう.

> 「この物質の熱伝達率は○○です。」
> と書くのは、間違っているのでしょうか?

上に書いたように,
周囲の状況を決めないと物質だけでは意味がありませんね.

dahho さんが
> 「この材質で断面積○mm^2長さ○mmの棒の熱伝達率は○○です。」
と書かれている量は,熱抵抗 R_T の逆数に当たる量で,
熱コンダクタンスと言われます.

例えば,棒状試料の側面を断熱して両端に温度差をつけます.
当然,高温側の端から低温側の端へ熱が流れます.
温度差に対してどれくらいの割合で熱が流れるかを表すのが
熱伝導率です.
電気伝導のオームの法則は
ΔV = R I  (電位差 ΔV,電気抵抗 R,電流 I)
ですが,全く同様に熱伝導に関して
ΔT = R_T J  (温度差 ΔT,熱抵抗 R_T,熱流 I)
です.
棒状試料ですと,電気抵抗は断面積 S に反比例し長さ L に比例しますから
R = ρL/S
と書いて,ρを電気抵抗率,その逆数 σ=1/ρ を電気伝導率と呼ん...続きを読む

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熱可塑性プラスチック(PP)を溶かして、水に付けて冷却、硬化させる際に、どれくらい水につけていれば、目的の温度になるかという問題に直面しています。

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Aベストアンサー

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物性値変化が正確に分かっていれば、非定常解析ができるCFDで解くことができるでしょう。

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Aベストアンサー

具体的な構成が今一つピンとこないので、考え方を書きます。
今、2つの材料が接しているとします。この時の接している境界の温度をT2、高温側の温度をT1、低温側をT3とします。
図で描くと、
| A | B |
| | |
T3 T2 T1
h2 h1
で、T1>T2>T3です。
この時、熱流束q [W/m^2] = h (T1 - T3) と書きたいわけですね。
材料Aの熱伝達率をh2、Bをh1とすると、AとBとの熱流束は等しくないといけない(発熱や吸熱が無い場合)ので、
h1(T1-T2) = h2(T2-T3) --- (1)
となります。T2について整理すると、
T2 = T1 h1/(h1+h2) + T3 h2/(h1+h2)
で、これを式(1)のどちらでもよいので代入します。とりあえず左辺で計算しますと、
h1(T1-T2) = h1 h2/(h1+h2)(T1 - T3)
となります。
従って、h = h1 h2/(h1+h2)
を得ます。抵抗の並列のような表記になりますね。

具体的な構成が今一つピンとこないので、考え方を書きます。
今、2つの材料が接しているとします。この時の接している境界の温度をT2、高温側の温度をT1、低温側をT3とします。
図で描くと、
| A | B |
| | |
T3 T2 T1
h2 h1
で、T1>T2>T3です。
この時、熱流束q [W/m^2] = h (T1 - T3) と書きたいわけですね。
材料Aの熱伝達率をh2、Bをh1とすると、AとBとの熱流束は等しくないといけない(発熱や吸熱が無い場合)ので、
h1(T1-T2) = h2(T2-T3) --- (1)
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B1%E4%BC%9D%E9%81%94%E4%BF%82%E6%95%B0
http://hmk-polaris.web.infoseek.co.jp/zisyo_syosai/netsukanryu.html
ここを見ると次元は同じようですが

Aベストアンサー

次元は同じですが定義としては違うものです。
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q=α(Tw-T0) [W/m^2]
などの形で書かれます。(ここでTwは個体表面温度、T0は流体の基準温度)
熱貫流率は、板を挟んだ流体間の熱伝達などをそれらの流体の温度差で表したときの係数で、一般には
q=K(T1-T2) [W/m^2]
K=1/(1/α1+l/λ+1/α2) [W/K・m^2]
などの形で書かれます。(ここでαは各流体から板への熱伝達係数で、λは板の熱伝導率、lは板の長さ)
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Aベストアンサー

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ~78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ~ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね?
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   Nu = C*Re^n*Pr^(1/3) --- (1)
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   Re = u*R/ν --- (2)
です。u [m/s] は冷気の流速、R [m] は円柱の直径、ν [m^2/s] は冷気の動粘性係数です。Pr と ν の値は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度での値を使います。Pr と ν の温度依存は[1] で計算できます。

【Nu数の実験式】
C と n は定数で、Re の値によって以下のような値をとります [2]。
     Re         C    n
   40~4000     0.683 0.466
   4000~40000   0.193 0.618
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【熱伝達率とNu数の関係】
一方、Nu と熱伝達率 h [W/m^2/K] との関係は、円柱の場合
   Nu = h*R/kf
で表わされます。kf は冷媒(空気)の熱伝導率 [W/m/K] です(円柱の熱伝導率と区別するために f をつけます)。空気の熱伝導率の温度依存は [3] で計算すると、冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃~80℃の範囲にあるとき、kf = 0.026 ~ 0.030 W/m/K の範囲になります。したがって、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合の熱伝達率 h は
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   Tout = 75.9 [℃]
とほぼ同じです(やはり意外に冷えません)。

この計算はクーラのダクトから17℃の冷気が複数の円柱にまんべんなく当たっている場合ですので、ワークの配列によっては結果が違ってきます(これより冷えることはありませんが)。クーラの冷却能力を倍にした場合は、風速を倍の 5 [m/s] にすればいいはずです。式(4)で冷却時間をもっと長くしてみればどれくらいまで冷えるか計算できますが、ワークが冷やされてくると冷気との温度差がなくなっていくので、熱伝達率が一定でも、単位時間に奪われる熱量が減ってくるので、だんだん温度の下がり方が鈍くなります(式(5)で時間を変えて計算してみると分かります)。

空気の動粘性係数 ν や熱伝導率 kf、それらから計算される Re数やPr数、Nu数は、厳密には円柱温度と冷気温度の平均値での値を使わなければなりません。具体的な計算手順は、最初に、円柱温度を75℃くらいと仮定して、その温度と冷気温度の平均の46℃での物性値を使って計算し、出てきた円柱温度と冷気温度の平均温度を使って空気の物性値を補正し、また円柱温度を計算するということを繰り返せば、最終的な円柱温度が出てきます。しかし、式(5)の温度範囲は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度が 20℃~80℃とした場合の値なので、最終的な円柱温度の値は式(5)の範囲に入っているはずです。

【補足】
[1] 1気圧の空気の Pr 数はと動粘性係数 ν は、室温付近では次式で近似されます。
      Pr = 0.713 - 0.0002*t
      ν = 1.296×10^(-6) + 1.02×10^(-7)*t
   t は空気の温度 [℃] です。
[2] 谷下市松「伝熱工学」裳華房(1986)p.142.
[3] 1気圧の空気の 熱伝導率 kf [W/m/K] は、室温付近では次式で近似されます。
      kf =0.0243+0.0000741*t
   t は空気の温度 [℃] です。
[4] 円柱の体積を V [m^3]、冷却面積(側面)を A [m^2]、円柱の熱伝導率を k [W/m/K]、熱伝達率を h [W/m^2/K] としたとき
   h*V/( k*A ) < 0.1
を満たせば内部の温度分布は一様とみなせます。炭素鋼(S53C)の熱伝導率の値はWebでは見つかりませんでしたが、資料 [2] に出ている炭素鋼の値は 54 W/m/K( 0.5C以下)~36 W/m/K(1.5C)なので、45 [W/m/K] くらいとすれば、この場合、Nu = 50~95、V = 0.256×10^(-3) [m^3]、A = 0.03 [m^2] なので、h*V/( k*A ) = 0.0095~0.016 < 0.1 となって条件を見たします。谷下市松「伝熱工学」裳華房(1986)p.83.

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ~78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ~ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね?
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますの...続きを読む

Q上空それぞれ10m、100m、1km、10kmの高さから裸で頑張って足から着地するとき

どのくらいのフカフカマット(商品名)もしくは柔らかい身近なものをどのくらい厚さがあれば生き残れるでしょう?(そのマットなどの表面を0mとし、生存後手術やリハビリなどで最悪一人で車イスで生活できるようになるレベルまでのケガまでしてok。体重は60kg人とする)

飛行機から牧場に落下して助かった人を聞いたことあるようなないような・・

また人体実験ではどこまでやったのでしょう?

Aベストアンサー

簡単な計算で求めてみましょう。

 空気の抵抗は、速さの二乗に比例するようです。従って、落下方向を正とした運動方程式は、空気抵抗係数をkとして

   F = m*g - k*v^2  (1)

 こちらのサイトによると、人間のスカイダイビングを想定すると k=0.24(kg/m) というような値だそうです。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1238740974

 これを使い、体重 m=60kg、簡単のため重力加速度 g=9.8m/s^2 → 10m/s^2 として計算すると、(1)式で落下しようとする重力と空気抵抗による力が釣り合うのは、

    m*g = k*v^2

のときで、このときの v は

    v = √(m*g/k) = √[(60kg*10m/s^2)/(0.24kg/m)] = 50(m/s)

になります。時速に直すと 180km/s ですから、No.1さんの回答に一致します。

 これは「下向きの重力」と「空気抵抗による上向きの力」が釣り合った状態なので、これ以上の加速度は下向きにも上向きにも働かず、この速さで「等速運動」することになります。つまり、高いところから飛び降りたとすると、これが最高速度になり、地面に達するときにはこの速さであるということです。

 次に、この「 50m/s 」で着地することを考えます。
 人間の足が、自分の体重の2倍の力まで耐えられると仮定します。自分と同じ60kgの人をおんぶした状態ですから、その程度は耐えられるでしょう。

 これは、落下速度にブレーキをかける上向きの力 m*g が働くのと同じです。このときの上向きの加速度が g です。このときの着地から t 秒後の速度は

   v(t) =50 - g*t    (2)

ですから、速さがゼロまで減速されるのは、

   50(m/s) - 10(m/s^2) * t(s) = 0

から、t=5(s) です。つまり、gの加速度を5秒間かければ停止します。

 (2)の速度で進む距離は、(2)を時間で積分して、t=0 のときを x=0 とすると

   x = 50 * t - (g/2)*t^2   (3)

となります。従って、5秒間に進む距離は、(3)に t=5 を代入して 125m ということが分かります。

 つまり、自分の体重の2倍(つまり「2G」ですね)程度に耐えて踏ん張れば、緩衝材(クッション)で 125m 沈み込んだ状態で、速度がゼロになるということです。
(通常なら、このクッションはこの後、沈み込んだ状態から「反発」して逆方向に動き出しますので、そのエネルギーをどうやって逃がせばよいのかは、質問者さんの方で考えてください)

 もっと大きな「G」をかけてよいなら、(2)(3)式の「g」をもっと大きくすればよいのです。

 人間の骨折や死に至る「G」が分かれば、それを(2)(3)式に代入すればよいのです。(静止状態でも人間にかかる「1G」分を差し引いて、それを(2)(3)式に代入するブレーキ加速度にしてください)
 また、足から落下する最高速度を、No.1さんの「280km/h」にする場合には、これを秒速にした「約80m/s」を使ってください。

簡単な計算で求めてみましょう。

 空気の抵抗は、速さの二乗に比例するようです。従って、落下方向を正とした運動方程式は、空気抵抗係数をkとして

   F = m*g - k*v^2  (1)

 こちらのサイトによると、人間のスカイダイビングを想定すると k=0.24(kg/m) というような値だそうです。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1238740974

 これを使い、体重 m=60kg、簡単のため重力加速度 g=9.8m/s^2 → 10m/s^2 として計算すると、(1)式で落下しようとする重力と空気抵抗による力が釣り合うのは、

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Q熱伝達率と物性の関係

いつもお世話になっております。

今、円柱に温風が流れている系の円柱の温度変化、円柱通過後の温風の温度変化を勉強しております。
そこで、熱伝達率を求め、移動する熱量からそれぞれの温度変化を求めようと思いました。

参考書で調べると、熱伝達率の求め方として強制対流熱伝達のMcAdamsの実験式を見つけました。
Nu = αd/λ = c(ud/ν)^n*Pr^(1/3)
これによると、熱伝達率は両物体間の算術平均温度における温風の物性と流速、円柱のサイズによって与えられることがわかりました。

ここで、直感的に円柱の熱伝導率等の物性は必要ないのか?と疑問に思いました。

なぜ、円柱の物性は必要ないのか、御教授いただけませんでしょうか。
よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

専門家ではありませんが、一般的な物理的考察からは厳密には物体の熱伝導率に依存するでしょう。
ただし、McAdamsの実験式で、Nu はヌッセルト数であり無次元化されていて、熱伝導率などの物性には依存しない量です。例えば温度が均一な板の強制対流の熱伝達率 h (W/(m^2K))は、h = Nu k/L (k=流体の熱伝導率、L=物体の長さ) です。

しかし、熱移動の拡散型微分方程式の境界値問題を解いてみればわかりますが、平均の熱伝導率は、物体と気体それぞれの熱伝導率をa、bとすれば、 1/(1/a + 1/b)のような形になり、a、bの大きさに著しい違いがあると小さい方が支配的になります。つまり、熱伝達の物理過程を考えれば納得できると思いますが、熱伝導率の小さな方の過程が全体の過程を律速します。

例えばヘリウムや水素など極端に軽い気体を除けば、空気も水蒸気も熱伝導率(W/mK)は概ね 0.02~0.03 程度です(出典 理科年表、以下同じ)。一方金属では銅~400、鋼鉄~17~50、アルミ~240 、グラファイト~80~230、また、石英ガラス~1.4~1.9、磁器~1.5、コンクリート~1、アクリルやポリスチレンなど一般的なプラスチックは 0.1~0.3 程度、などで、10倍程度以上の違いがあると実験式程度の正確さでは物体の熱伝導率の影響は誤差の範囲で無視できます。実験式はおそらくもっとラフかもしれません。
これが断熱材のようなものだと様子が違ってきます。木材で0.14~0.18、グラスウールで 0.04、などですからこのような素材の場合は影響が現れてくるでしょう。

専門家ではありませんが、一般的な物理的考察からは厳密には物体の熱伝導率に依存するでしょう。
ただし、McAdamsの実験式で、Nu はヌッセルト数であり無次元化されていて、熱伝導率などの物性には依存しない量です。例えば温度が均一な板の強制対流の熱伝達率 h (W/(m^2K))は、h = Nu k/L (k=流体の熱伝導率、L=物体の長さ) です。

しかし、熱移動の拡散型微分方程式の境界値問題を解いてみればわかりますが、平均の熱伝導率は、物体と気体それぞれの熱伝導率をa、bとすれば、 1/(1/a + 1/b)のような形になり...続きを読む

QMathematicaでのTr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];

pauli2times[g1_,g2_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]];

g1={{0,1},{1,0}};
g2={{0,-I},{I,0}};
g3={{1,0},{0,-1}};
g0={{1,0},{0,1}};

gu[0]=pauli2times[g2,g3];
gu[1]=-pauli2times[g1,g3];
gu[2]=pauli2times[g0,g2];
gu[3]=-pauli2times[g0,g1];

e4=IdentityMatrix[4];

gd[0]=1*gu[0];
gd[1]=-1*gu[1];
gd[2]=-1*gu[2];
gd[3]=-1*gu[3];

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*-q1+gu[2]*-q2+gu[3]*-q3);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*-p1+gu[2]*-p2+gu[3]*-p3);
sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*-k1+gu[2]*-k2+gu[3]*-k3);
gmu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gnu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gmd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);
gnd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);

ms=m*e4;


(*式ー1*)
s=0;
y1=0;
For[x=0,x&pound;3,x++,
s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]];
y1=y1+s;
Print[FullSimplify[y1]];
];

(*式ー2*)
y2=Tr[(sl[q]+ms).gmu.(sl[p]+sl[k]+ms).gnu(sl[p]+ms).gnd.(sl[p]+sl[k]+ms).gmd];
Print[FullSimplify[y1]];

(*式ー3*)
y3=Tr[(-2sl[q]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms).(-2sl[p]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms)];

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Fla...続きを読む

Aベストアンサー

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x&pound;3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]]
としたのでは
γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d + γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(2)
のような計算をすることになります。また(*式ー2*)では
(γu0+γu1+γu2+γu3) (γu0+γu1+γu2+γu3) (γd0+γd1+γd2+γd3) (γd0+γd1+γd2+γd3) …(3)
のような計算になってしまいます。(1)と(2)(3)は等しくありません。これは単にプログラミングのミスでしょうか。(1)はローレンツ不変な形になっていますが、(2)(3)はローレンツ不変な形ではありません。ローレンツ不変でない式を書くようでは基本的な部分の理解が不十分なのではないでしょうか。これは数式処理とか場の量子論の問題ではありません。場の量子論の問題とはもっと重要で微妙な問題のことを指します。

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x&pound;3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x]....続きを読む


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