直角三角形の三等分線

前回、二等分線の長さの問題では大変お世話になりました。
下の問題は、またうちの高校生の娘からの質問なんですが、私には難易度が高すぎるようです。
お分かりになる方がいらっしゃいましたら、ご教示下さい。ヒントだけでも結構です。

直角三角形ABCにおいて、角A＝９０度、AB＝ａ、AC＝ｂ、角Aの三等分線がBCと交わる点をD,Eとする。三等分線AD、AEの長さをそれぞれｘ、ｙとするとき
（１）ｘ，ｙをａ，ｂを用いて表せ。
（２）三角形ADEの面積をａ，ｂを用いて表せ。

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/13 14:35

(1)は考え中ですが。

(1)ができれば、(2)は簡単にでます。
∠ＤＡＥ＝30°（なぜならば90度の三等分線の一つ）
なので、△ＡＤＥの面積＝1/2xy・sin30°です。
これに(1)で求めたx,yをa,bで表したものを代入すれば答えです。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2002/10/13 14:40

親の権威がかかっていますね(^^;)．

　Ｃ
　│＼
　│　Ｅ
ｂ│　　＼
　│　　　Ｄ
　│　　　　＼
　Ａ─────Ｂ
　　　　ａ

概略図は↑ということですかね．
テキストファイルで描くと，直角二等辺三角形しか描けませんが...

∠ABC = θとおきます(この角は∠ABD でもある)．
(1)　　cosθ = a/√(a^2 + b^2)
(2)　　sinθ = b/√(a^2 + b^2)
はすぐにわかります．

△ABD に正弦定理を使うのが簡単でしょう．
今の場合，
(3)　　(辺AB)/sin(∠ADB) = (辺AD)/sin(∠ABD)
ですが，∠DAB = 30゜，∠ABD = θ，∠ADB = 180゜-(θ+30゜) = 150゜-θ
から
(4)　　a/sin(150゜-θ) = x/sinθ
です．
sin(150゜-θ)を加法定理でばらして(1)(2)を使えば，
x は a,b で表現できます．

y についても全く同様のパターン．

x,y が求まれば，△ADE の面積は (1/2)xy sin(∠DAE) = xy/4 から計算できます．

もっと簡単な解法もあるかも知れませんが，
とりあえず思いついたことを書きました．

この回答へのお礼

ありがとうございました。
加法定理はまだ習っていないので、この方法では出来ないとのことでした。
このような方法もあることを伝えました。

お礼日時：2002/10/13 21:20

No.3 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/13 14:43

#1です。

(1)について、#1で「回答する」をクリックしたときに思いつきました。
∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＣ＝30°です。
で、
△ＡＢＤ＝1/2・ax・sin30°
△ＡＤＥ＝1/2・xy・sin30°
△ＡＥＣ＝1/2・by・sin30°
で、△ＡＢＣ＝1/2・ab（∵∠ＢＡＣ＝90°）
△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＡＤＥ＋△ＡＥＣ
で式がひとつできます。

また、三平方の定理からＢＣ^2＝a^2+b^2
で、余弦定理からＢＤ、ＤＥ、ＥＣをa,b,x,y,cos30°で表すことができ、
ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ　からもう一つ式ができます。

この２つの式をx,yの連立方程式にみたてて解けばＯＫではないでしょうか？

（あくまで、思いつきだけで計算してないので、どこかに見落としがある可能性があります。）

この回答へのお礼

何度も回答していただきありがとうございました。
計算がちょっと難しかったです。

お礼日時：2002/10/13 21:26

No.4 ベストアンサー 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/10/13 14:52

楽な方法を書きます。

ただし、この方法が他の問題に応用できたところを
見たことが無いのですが。

(1)のx(AD)だけ考えます。
AEは邪魔なので図に描き込まずに読んでください。
Dは「Bに近いほう」だとします。

△ABC = △ABD + △ADC
という関係を用います。
ここで、
△ABC = ab / 2
△ABD = (1/2)AB・AD・sin∠BAD = (1/2)ax・sin30°
△ADC = (1/2)AD・AC・sin∠DAC = (1/2)bx・sin60°
なので、これらを初めの関係式に放り込めば
xがa, bで表されます。
yについても同様にすれば求まり、
xのaとbを入れ替えた結果になるはずです。

(2)はx, yが求まれば
△ADE = (1/2)xy・sin30°で解答できますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
この方法が最もわかりやすかったです。

お礼日時：2002/10/13 21:24

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/13 14:58

#1(#3)です。

#3でアドバイスした方法だと、√や二乗がでてきて計算がややこしいですね。
#2の方のやり方だと、加法定理（公式）を習ってないと解けません。
ですので、
#3の方のやり方が一番いいですね。

No.6 回答者： enomotok 回答日時： 2002/10/13 15:20

とりあえず，xだけ・・・。

△ＡＤＣの面積をx，bで表すと，△ＡＤＣ＝√3bx/4・・・（１）
△ＡＤＢの面積をx，aで表すと，△ＡＤＢ＝ax/4・・・・（２）
ここで，△ＡＢＣ＝ab/2・・・・・・・・・・・・・・・（３）
なので，（１）～（３）より，
√3bx/4＋ax/4＝ab/2
よって，
x＝(2ab)/(a＋√3b)
⇒Ｄから，ＡＣ，ＡＢに垂線をおろしたときに，
　1：2：√3の三角形ができることがポイントですね。

この回答へのお礼

基本的には＃４の方の方法と同じやり方ですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2002/10/13 21:29

No.7 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/13 18:47

済みません。

肝心なところを間違えました。

>#3の方のやり方が一番いいですね。

これは#4の方の誤りです。（#3じゃ自分だってーの！）