【最大10000ポイント】当たる!!質問投稿キャンペーン!

2つのn次正方行列A,Bに対し、P^-1AP=Bとなるような正則行列Pが存在するとき、A~Bで表すとして、
(1)A~A
(2)A~BならB~A
(3)『A~BかつB~C』ならA~C

(1)~(3)が成り立つ事を証明しなければいけないのですが、
そもそもA~Aの『~』の意味が理解できません。
例えば(1)の問題であれば
P^-1AP=Aということなのかどうか。
もしP^-1AP=Aということだとした場合に
左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。
Aの行列を
(a b)
(c d)
として(本当は1つの()の中にabcdを書きたいのですができないため()が2つになっています。)
Aの固有値がx、yとなれば右辺は
(x 0)
(0 y)のようになると思うので
P^-1AP=Aという式は成り立たないと思いました。
しかし問題は成り立つ事を証明しろ、なので
僕の考え方が間違っていると思います。
この証明の正しい解き方を『~』の意味を含めご教授して頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

(1)A~Bの定義が、「P^(-1)AP=Bとなるような正則行列Pが存在する」ということは、


「A~A」を証明するには、「P^(-1)AP=A」を満たす適切なPを見つければ良い。この場合、単位行列でOKでしょうか。つまり、P=Iにすると、
I^(-1)AI = A であるから、A~A。

(2)定義に従い、
  A~B 
⇒ P^(-1)AP=B となるPが存在。
⇒ A = PBP^(-1)
⇒ B~A。※ P(^-1)をPだと思う。

(3)A~B、B~Cより、
P^(-1)AP=B となるPが存在、
Q^(-1)BQ=C となるQが存在。
1つの目の式にQ^(-1)を前から、Qを後ろからかけると
Q(^-1)P^(-1)APQ=Q(^-1)BQ
=C
Q(^-1)P^(-1) は正則なので、A~Cも言える。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早々のご解説ありがとうございます。
『~』の意味がわかってすっきりしました。
わかりやすいご解説ありがとうございました。

お礼日時:2008/02/22 15:19

>>左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。



確かにAを対角化する時はP^-1APが対角行列になるようなPを
求めますが、今の場合はPは正則行列なら何でもいいので、
左辺は必ずしも対角化されてません。
Pとして単位行列Iを選べばA~Aが言えます。

(1),(2),(3)が成り立つような関係~を同値関係といいます。
同値関係について調べてみれば理解が深まるでしょう。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早々のご助言有難うございます。
最初から勘違いしていました。
同値関係について調べてみます。
有難うございました。

お礼日時:2008/02/22 15:15

> P^-1AP=Aということなのかどうか。


そういうこと。

> もしP^-1AP=Aということだとした場合に左辺が対角化されているので・・・
違うでしょう。「対角化されている」とは誰も言っていません。ちょっと、おっちょこちょいな方?私と同じだ・・・。

どのような A に対しても、P = E (単位行列)とすると P^-1AP = A が成立しますから、A~A は任意の A で成立します。

(2) P^-1 A P = B ⇒ A = P B P^-1 , Q=P^-1とおけば、Q^-1 = P なので、A = Q^-1 B Q

(3)
P^-1 A P = B, Q^-1 B Q = C
⇒ Q^-1(P^-1 A P) Q = C 
⇒ (Q^-1 P^-1) A (P Q) = C
PQ = R とおくと、R^-1 = (PQ)^-1 = Q^-1 P^-1 より、
R-1 A R = C
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早々のご解説ありがとうございます。
勘違い(対角化)一つがすごくでかかったみたいです。
わかりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時:2008/02/22 15:17

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング