大学への数学（東京出版）に書いてあった「安田の定理」

大学への数学（東京出版）に「安田の定理」が紹介されていました。

微分可能な関数g(x)、h(x)があって、その商をとった関数g(x)/h(x)がx=aで極値を取るとき、g(a)/h(a) = g’(a)/h’(a)が成り立つ。（ただし、h’(a)≠0）

これは逆も成り立ちます。

これとロピタルの定理は似ていると思うのですが、２つの定理を何とか統一的に解釈したいのですが、いいアイデアはありますでしょうか？

＃数学では、まったく異なると思われていた事象に、深い関連が見つかることはよくある話だと思います。

No.3 回答者： IzmiKonata 回答日時： 2008/04/07 19:16

実際の文献を読んでいないので確実なことは言えませんが、

似ているというより、ロピタルの定理の一部が「安田の定理」なのではないでしょうか？
ロピタルの定理では、

微分可能な関数f(x)、g(x)があって、その商をとった関数f(x)/g(x)がx=aで極値を取るとき

lim_{x->a}f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)が成り立つ。（ただし g'(a)≠0）

というものですが、結局
ロピタルの定理の場合は

f(a)、g(a)に制限がなく（ゼロでも発散してもいい）、

で、安田の定理の場合は

g(a)≠0

という制限がついているだけの気がします。

No.2 回答者： noname#168349 回答日時： 2008/03/12 10:14

（極限はすべてx→aです）

f(x)/g(x)がx=aで極値をとるとき、
0={f(a)/g(a)}'={f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}/g(a)^2
=lim{f(x)-f(a)}g(a)/g(a)^2(x-a)-limf(a){g(x)-g(a)}/g(a)^2(x-a)
よって
lim{f(x)-f(a)}/g(a)(x-a)=limf(a){g(x)-g(a)}/g(a)^2(x-a) ・・・(1)

ロピタルの定理
f'(a)/g'(a)=lim{f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}
=limg(a)(x-a){f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}g(a)(x-a)
=[lim{f(x)-f(a)}/g(a)(x-a)]*[limg(a)(x-a)/{g(x)-g(a)}]
（ここで(1)を使います）
=[limf(a){g(x)-g(a)}/g(a)^2(x-a)]*[limg(a)(x-a)/{g(x)-g(a)}]
=lim[f(a){g(x)-g(a)}/g(a)^2(x-a)]*[g(a)(x-a)/{g(x)-g(a)}]
=limf(a)/g(a)
=f(a)/g(a)

素人考えですが、まったく無関係とはいえないのではないでしょうか。

No.1 回答者： Meowth 回答日時： 2008/03/11 14:39

y=g(x)/h(x)

dy/dx={g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}/h(x)^2=0
g'(x)h(x)=g(x)h'(x)
といっているだけで、ただの商の微分法だから不定形でもなんでもないし、
ロピタルの定理とは関係ないだろうけど。

この回答への補足

証明を知りたいわけではありません。

補足日時：2008/03/11 16:02