ケーキはどちらに？

二人の兄弟に一つのケーキが与えられました。
兄はゲームでどちらがケーキを食べられるか提案し、弟もそれに同意しました。
兄は三つの同じ箱を用意し、そのうちのひとつにケーキを隠しました。
兄はどの箱にケーキがあるか知っていますが、弟は知りません。
兄は弟にどの箱に入っているか当てられたらおまえが食べていいと言うと
弟は「これにする」と三つのうちの一つを選びました。
兄が弟の選んだ箱を開けようとすると、
弟は「待って、これだと僕が勝つ確率は１／３で兄ちゃんの勝つ確率は２／３で不公平だ」と言いました。
すると、兄は「おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ」と教えてくれ、弟の選ばなかった空の箱を開けました。そして、箱を選び直すか聞いてきました。
すると弟は、
「ケーキは兄ちゃんが開けなかった二つのうちどちらかに入ってるわけだ、どちらも確率は１／２だね。それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない。僕は変えないよ。これは公平なゲームだ。」

さて、あなたは弟の意見に同意できますか？

No.23 ベストアンサー 回答者： sPP 回答日時： 2002/11/01 10:32

＃８＝＃１７です。

もう、なんだかすごいことになってしまいましたね。

＃１７でまとめたつもりが＃１８さんに反論されてしまったので、
私自身の意見は完全に放棄してもう一度総括してみます。
今度こそ大丈夫かな？

質問に対する回答：
　まずこのゲームは公平なゲームではない。
　最後に残った２つの箱のうち、
　弟が選んだ箱に入っている確率は１／３、
　弟が選ばなかった（かつ兄が開けなかった）箱に入っている確率は２／３。
　しかも最後の選択権は弟にある。
　よってこれは弟に有利な不公平ゲームだからからである。

　また「選びなおすか直さないかは問題じゃない」というのも間違い。
　選び直しても直さなくても弟の有利には変わりがないからである。
　（ただ、「問題じゃない」＝「確率的に変化がない」という意味なら正しい。
　　しかしそれは弟の意図したこととは違うので、ここでは無視。)

　以上より結論として、
　最後の弟の意見には『完全に同意できない』。

皆さん並びに質問者さん、これでいかがでしょうか。

あとちょっと気づいたこと。

＃２１さんが問題の置き換えとして挙げている、
＞◆箱の中に、ボール３個が入っている（白２個＝ハズレ、赤１個＝ケーキ）
＞◆弟は目を閉じて、ボールを１個取る
＞◆兄は箱に残っているボールから白１個を取り出し、弟に選び直すかを聞く
というものですが、結構分かりやすいと思います。
ただ、最後の「弟に選び直すかを聞く」という部分の解釈に、
ケーキの場合も含めたこの問題の本質があるような感じがしました。

ボールの問題の場合、「選び直す」というのはどういう手順のことでしょうか。
弟が握ったままのボールと箱に入ったままのボールとを入れ替える（もしくは入れ替えない）ということでしょうか。
それとも握ったままのボールを一旦箱に戻してから、改めて２つのうちの１つを目を閉じて選ぶということでしょうか。

どちらも２つのボールのうちの１つが赤であるという事実は変わりませんが、
後者の場合は一度箱に戻してしまった以上２つのボールは対等なので、赤である確率は１／２です。
しかし前者の場合、握っているボールと箱の中のボールは対等ではありません。
それはつまり、箱の中のボールは兄が残したという情報を抱えているので、赤である確率が１／３から２／３にアップしているからです。

私を含めて、ケーキの問題に同意できる答えた人は問題を後者のように捉えたからであり、
同意できないと答えた人は初めから前者のように考えていたからではないでしょうか。

いやーなかなか奥が深い問題ですね。
大変勉強になりました。ありがとうございます。

No.24 回答者： RandyPlus 回答日時： 2002/11/01 13:12

　＃１３，２１です。

少し補足です。

　まず、賛同してくれてありがとうございます(^○^)　＞＃２４さん

　さて、「ボールと箱」に置き換えた場合（ケーキの場合でも同じ考えです）の「選び直す」ですが。
　「今手に持っているボールと、箱に残っているボールを取り替えるか取り替えないか」といった事を想定した「選び直す」です。

　確かに、いったん手に持っているボールを箱に戻し、２つのボールから「（改めて）選び直す」といった解釈もできてしまうのですが、この場合「最初から２個のボールでやれよ！」なので、私は想定しませんでした。

　どっちにでも解釈できる日本語って、困りますよね・・・・・(ーー;)

この回答へのお礼

皆様、何だかあやふやな日本語のあやふやな問題に
真剣に考えてくださって本当にありがとうございます。

正直、私も最初にこの問題を知ったとき
このあやふや問題の前にあやふやな日本語に悩まされました。

そろそろこの質問も締め切ろうかと思います。

いろいろな解釈が取れるのでどれが正しいと一概に
いえないのですが、自分でもうなずけるものが多々ありました。

皆様、ありがとうございました！！！

お礼日時：2002/11/01 17:53

No.22 回答者： eatern27 回答日時： 2002/10/31 12:28

#19です。

#20さんの反論への釈明
＞赤玉・白玉の例では、やっぱり確率は変わります。
そのようです。これを見た瞬間は「1/100万だよ」と思いましたが、この赤玉、白玉の説明(#19)のすぐ下のくじの説明を見て、納得しました。まさか、自分に説得されるとは・・・。
ただ、99万9998個の白玉のみがこぼれおちるのって「偶然」じゃないですよ。だって確率は1/50万ですよ。こんなの0%と一緒ですよ。
だから、誰かが作為的に白玉を袋から取り出したのだと思っていたのかな?こう考えれば1/100万です。ですが、この考えには無理がありますね。そんな事どこにも書いてないしね。

No.21 回答者： LAMY 回答日時： 2002/10/31 11:54

すごいレスだ...＃５です(^-^;

前回は会話の内容とレベルから、然程年齢は高くないとして書き込みました。
また、「同意できますか」との記述から、確率論や深読みはないと思いました。
そこで状況をもう一度整理して....

兄が「おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ」と言い、残っている２箱の
うちの片方を空けました...中に入っているかは分かりません。
　・弟が選んだ箱にケーキが入っているなら、兄は両方とも空箱
　・兄の方にケーキが残っているなら、兄の片方は空箱

この状況でケーキが出たら兄が取ったのでしょうか...前提で書いたように
子供の会話なら当然のように兄が食べてしまうでしょう。　この時の言い訳
として残りの別箱も開けるのでしょうね。　子供の会話なのですから、外れ
たから今回のような言い訳をしていると思います。

まぁ、前の状況(ハズレが減った)を踏まえて確率が変動して、「兄が選択権
を、再度弟に与え」、弟が「二つのうちどちらかに入ってる訳だ、どちらも
確率は１／２だね」と状況を理解したのだと思います。

この状況にして「始めに選んだ箱のままでいい」という結論の元、「僕は変え
ないよ」と発言したなら、今回こそ公平なゲームであると思います。
(確率は１／３でしょうが、１／２になっても変えなかっただけです)
この文章に限定するなら、ここまでは正しいと思います。

そこで最後の台詞で「それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない」との
発言には質問者の書き込み、前回の書き込み＃５、と同じ結論となりますが
適切な表現ではなく、「問題はあったが変えません」となるべきだと思い同意
できないと前回は書きましたが...如何でしょうか？

たとえ話もありましたが確率の話ではないので、逸脱した例も如何かと...
でも、誤解を招くような曖昧な問題が駄目なんですよね。

No.20 回答者： RandyPlus 回答日時： 2002/10/31 09:28

　＃１３です。

兄が一つの箱を開けたことをどのように捉えるのかで、けっこう悩んでしまう問題でなかなか楽しめました。
　さて、皆さんの回答を見て考え直したので、前回の回答の後半部分訂正です。

>ただ、１つの箱を空けた段階で弟に再度選ばせているので、弟は１／２の確率にすることも可能でしたから、「公平なゲーム」はあっていると思います。もっとも、公平なゲームにする権利を弟は放棄していますが（笑）

　については、「弟は（選び直せば）2/3の確率にすることも可能だった」ですね。あと、「不公平なゲーム」ですねこれは。
　つまり、前回の回答は「同意できない。ただし、一部同意できる」でしたが、今回は「全面的に同意できない」に変更します。
　うーん、結構自信持って回答したんだけど、表面上の事に惑わされていたようです。


　さて、この箱とケーキの関係で考えるのが私にはやりにくかったのですが、みなさんはどうだったのでしょうか？
　再考するときに、私は

◆箱の中に、ボール３個が入っている（白２個＝ハズレ、赤１個＝ケーキ）
◆弟は目を閉じて、ボールを１個取る
◆兄は箱に残っているボールから白１個を取り出し、弟に選び直すかを聞く

　に置き換えて考えてみました。この方が分かりやすいと思うのですがどうでしょ？

No.19 回答者： jun1038 回答日時： 2002/10/31 05:45

意見を訂正します。

いろいろお騒がせしてすみませんでした。

やはりこの問題は、数学的だけでなく文学的？にも考えなければダメですね。

問題は、
兄が恣意的・意図的に箱を開けている、という点と
弟の、「選択を変えなくても公平だ」という意見が正しいか、という点
です。

１００万個のケーキで考えれば、兄はケーキがどの箱に入っているか知っており、
はずれの箱を選んで開けているわけです。
弟がはじめに選んだ箱は、１００万分の１の確率ですから、
おそらく「スカ」でしょう。
兄は残った箱のうち、自分が分かっているはずれをどんどん開けていって、
最後に２個残りますが、これだけで弟の確率が増えるわけでなく、
やっぱり「スカ」でしょう。
このとき、公平だから選択を変えないというのは間違っています。

弟の立場でなく、兄の立場で考えるとすぐ分かります。
「しめしめ、やっぱりスカを引いたな。
　では、他のはずれをどんどん開けていって２個にすれば、
　確率２分の１と錯覚して、選択を変えないかも・・」
でな感じかな。この問題がすぐ分かった人は「兄的思考をする人」カモ？

eatern27さんへ、少しだけ反論。
赤玉・白玉の例では、やっぱり確率は変わります。
玉は「兄」とは違い、「偶然」こぼれ落ちたので、
この場合は「条件付き確率」になります。赤玉の確率は２分の１。
ケーキも、兄がどれにケーキが入っているか知らずに、
適当に箱を開けていって、たまたま２個残った場合は、確率２分の１で
変更してもしなくても変わりません。

それでは。

No.18 回答者： eatern27 回答日時： 2002/10/30 17:45

#10です。

＞弟は「選びなおすか直さないかは問題じゃない。」と考えたのです。この質問は＞この意見に賛成できるかという質問です
これは誤りです。箱を変えなかったことが問題なのです。
結論から言うと弟が勝つ確率(以下"弟の確率"）は1/3です。兄が勝つ確率(以下"兄の確率"）は2/3

説明4(数学っぽく）
ケーキのある箱をＡとします。すると、弟はＡを選ぶか選ばないかで場合分けできます。
1)Ａを選んだ場合
最初にＡを選ぶ確率は1/3です。ここで箱を開けます。(ちなみに、ここでの箱の取り方は残りの2つのうちのどちらでもいいので、2種類あります)この条件での、弟の確率は100%です。よってＡを選んだ場合の弟の確率は
(1/3)*1＝1/3
2)Ａを選ばなかった場合
最初にＡを選ばない確率は2/3です。ここで箱を開けます。(ちなみに、ここでの箱の取り方1種類のみです)この条件での弟の確率は0%です。よってＡを選ばなかった場合の弟の確率は
(2/3)*0＝0

1),2)より弟の確率は1/3+0=1/3

説明5
最初にケーキの無い箱を選んで弟が勝つ確率は0%です。(これが0%でないというのなら、具体例を上げて下さい。但し、弟は箱を変えないので、"(弟が最初に選んだ)ケーキの無い箱にケーキが入っている"という具体例です。よって弟が勝つには最初にケーキが入っている箱を選ばなければいけません。この場合、弟は確実に勝ちます。(これも違うというなら、同様に具体例を上げてください)よって
"弟は最初にケーキのある箱を選ぶ"<＝>"弟が勝つ"
が成り立ちます。(真ん中は同値記号です。)
よって弟の確率は1/3
逆に"弟は最初にケーキのない箱を選ぶ"<＝>"兄が勝つ"
よって兄の確率は2/3

説明6
弟はある箱Ａ(説明4のＡとは違います)を選びました。他の箱をＢ、Ｃとします。
ケーキがＡ,Ｂ,Ｃに入っている確率はいずれも1/3です。
ケーキがＡに入っていたときは弟が勝ちます。
ケーキがＢ、Ｃに入っていたときは弟は負けます。
よって1/3

ここで、他の方の具体例を検証します。
#9さんの赤玉と白玉の例
箱→玉、ケーキ→赤、はずれ→白玉にしただけですので上と同じ1/3
#11さんの例題2
数が多くなっただけですので1/100万
最初に赤を持ったのか白を持ったのかで白玉の飛び出しかたの組み合わせが違います(赤は99万9999通り、白は1通り)。だから、赤を持ったのか白を持ったのかというのを同じだと考えてはいけません。2つの場合に場合分けしなければいけません
そもそも、白玉が飛び出したことで持っていた玉が変わることはないので、白玉が、飛び出す前に袋から取り出しても色は変わりせん。だから、1/100万
100万個の玉の中から、赤い玉を最初に取る確率は50%にはなりませんね。
#11さんの例題3
インサイダー情報が寄せられたという条件での確率。(条件付き確率)
#12さんのあみだくじ(以下普通のくじとして説明します…「あたり」か食われる)
98人がひきおわった段階での話なら確率は1/2です。しかし、この時の"確率"は「98人がはずれであった」という条件での確率です。数学らしく言えば条件付き確率です。これは、純粋な確率の分母から「98人のうちの誰かがあたりであった」という場合を引いています。つまりＡ君があたりを引く確率を求める時に、Ａ君がはずれを引く(残りの98人があたる確率を引いて求めてしまっています)

他の方の意見を見ると色々な所に出てくる有名な問題のようですね。私は初めて見ましたが。

No.17 回答者： pancho 回答日時： 2002/10/30 17:01

参戦します。

＃１７の方の総括とは逆だと思います。
弟が最初に選んだ箱に入っている確率は１／３、兄が残した箱に入っている確率は２／３です。　公平かどうかで言えば「不公平」ですが、弟に選択権があるのだから弟に有利な不公平です。

但し、条件があります。
兄が片方の箱を開けるという行為が、恣意的に行なわれたのではないことです。
（どちらの箱を開けるかではなく、片方を空けることで錯覚を起こさせるというのが目的ではないことです。これは、以下の理由説明により兄が残した箱に入っている確率が高いのを利用して、弟の箱に入っているのを変更させるために行なう心理戦に利用できるからです。）
------------------------------------------------------------
理由：
・兄が箱を開ける前には、それぞれの箱に入っている確率は１／３です。
・３つの内のどれにケーキが入っていても、兄は空の箱をあけられます。
　（兄はどの箱に入っているか知っています。）
・この兄の箱を開ける行為は、ランダムではなく恣意的に行なわれています。
・弟が残した２つの箱のどちらかに入っている確率は２／３であり、兄が箱を開けた後もこの確率は保持されます。
------------------------------------------------------------
皆さんが錯覚される理由：
兄が開ける箱をランダムに選んでケーキの入った箱を開けてしまうこと、が無いからです。
つまり、兄が箱を開けたからといって、（弟の選択した箱には）新たな情報が加わってはいません。残った２つのどちらかが空であることを証明しただけで、これは元々自明なことです。
但し、兄が残した箱には「兄が選択しなかった」という情報が加わっています。このため、元々の１／３という確率が２／３に変化しています。

以上。

No.16 回答者： sPP 回答日時： 2002/10/30 15:18

＃８です。

こんなにたくさんレスがついてるのに、質問者さんがちっとも顔を出さないのはとっても残念ですね。
そもそもある意見に同意するかしないかは個人の自由なので、それに正解なんてない筈ですよね…。

さて、議論もだいぶ煮詰まってきたみたいなので、ちょっとまとめさせてもらっていいですか？

大方の意見としては、
○この問題全体としては公平なゲームなので、その点では同意できる。
　ただし「選びなおすか直さないかは問題じゃない」という発言は同意できない。
　それは「(たとえ同じ箱を選び直すのだたとしても)再度箱を選び直す」という権利を行使しないと、このゲームは公平でなくなるから。
ということですね。

私は「選びなおすか直さないか」という発言に関しては、
　選び直す＝初めに選んだのとは異なる箱を"選択する"
　選び直さない＝初めに選んだ箱を改めて"選択する"
と解釈したので、２つの箱のどちらかを"選択する"権利を弟が行使しているという理由で、同意するとしました。
この解釈の上では、同意するというのは間違ってないと思うのですが、いかがでしょうか。

だいたい、この兄弟には
「公平にしたいなら初めから箱２つでやれよ！」とい言いたいところですが…。

この回答へのお礼

うおっ！！？こんなにいっぱいレスがつくとは…

学校でしかネットが出来ないため、お礼を言うのが遅れてしまいました。
皆様すみません、本当にありがとうございます。

そもそも問題が、
「弟の意見に納得できるか」と言うものなので
俺としては
「ゲームとしては公平であるが、選びなおすことは問題じゃない
と言う部分は間違いだ」
と思って皆さんの意見を伺いました。

もう少し皆さんの意見を伺いたいと思います。
レス遅れるかも知れませんがご了承ください。
それではヨロシクお願いします。

p.s.こういう問題に出てくる兄弟ってくだらないことに難しいことを持ち出してくるなって言いたいですね、本当に「公平にしたいなら初めから箱２つでやれよ！」って感じっすね。

お礼日時：2002/10/30 15:44

No.15 回答者： keronyan 回答日時： 2002/10/30 14:22

最近出た論理思考力なんとかと言う本に記載されている物と一緒ですね。

重要なのはこの場合兄が知っているかどうかと言う点です。
知っているため、箱を開ける行為は確率に影響を与えません。
よって最初に選んだ箱にケーキがある確率は1/3
開けなかった箱にケーキがある確率は2/3です。よって変更した方が確率が高くなります。（公平かどうかは選択させているので公平と思います。確率は1/2にはなりませんが。）
この問題を新聞のコラムに出すと結構1/2だという人の投書が多く、専門家からのクレームもあったらしいが、実験するとその通りだったと言うことが載っています。