正三角形による多面体について

正三角形による多面体について　いくつか　お聞きします
面が奇数にはなり得ないことの証明は　いかに
（頂点の数-2）　対　（面の数）　対　（辺の数）
が１対２対３になることの証明
（これはオイラーの定理を用いずに証明はできるのでしょうか）
正１８面体　凸型は　ないことの証明は　簡素にできるレベルのものでは　ないのでしょうか
宜しくお願い致します。

No.1 回答者： jo-zen 回答日時： 2008/04/26 20:20

以下のURLが参考になると思います。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/571_ …

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polygon.htm

一見簡単そうに見える問題ほど、どこからとっかかっていいかわkらないことが多いですね。

この回答へのお礼

有り難うございました。

お礼日時：2008/04/30 18:19

No.2 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2008/04/26 20:49

オイラーの多面体定理を使わずにですか。

。。

正三角形がn個で構成されるn多面体は面の数がn個、
辺の数は3n/2本になります。
(辺は2つの三角形のそれぞれの辺が合わさっていますから)

まず、辺の数が整数になりますから3n/2は整数です。よってnは偶数です。
奇数はありえません。
このことから面と辺の数の比率はn:3n/2=2:3


今、n面体の頂点の数をV[n],辺の数をE[n]します。

ここで四面体を考えると頂点の数V[4]は4,辺の数E[4]は6
V[4]-2:E[4]=2:6=1:3　で成立。
F=nの時に（V[n]-2):E[n]=1:3が成り立っているとすると、E[n]=3(V[n]-2)
一つの三角形を抜いて新たな頂点を作る(正四面体を一つの面に
貼り付けるイメージ)と頂点は1増え、辺は3増える。
V[n+1]=V[n]+1
E[n+1]=E[n]+3=3(V[n]-2)+3=3(V[n+1]-2)
でn+1の時も成立。よってn≧4で全て成立します。

まとめると（V-2):F:E=1:2:3

この関係を使うと三角形で形成される18面体は頂点の数が11個。
一方、三角形の頂点の数は18*3=54
5個の三角形が集まる頂点が10個と4個の三角形が集まる頂点が1個で
計算が合いますが、対称性がありません。というか、全ての頂点で
対称性を求めるなら48/11が整数で無い時点で正多面体は成立しません。
よく知られている正20面体なら頂点数12、12*5=60で辻褄が合いますが、
18面体は不可です。

この回答へのお礼

詳細な解答頂きまして有り難うございました。
非常に参考になりました

お礼日時：2008/04/30 18:16