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数学I

t>2のとき 5t t+2 2t+3 の三角形は鈍角三角形であることを示せ。

という問題で最大辺は5tなので
(5t)^2>(t+2)^2+(2t+3)…①になることを示せばいい
f(t)=(5t)^2-(t+2)^2-(2t+3)^2
f(t)=20(t-2/5)^2-81/5
になり軸はt=2/5<2 f(2)=35>0なのでf(t)>0
よって①は成立し三角形は鈍角三角形と解説にはのっていたんですが、よく分かりません。
とくにt=2/5<2 f(2)=35>0なのでf(t)>0、ここが
なぜ最終的にf(t)>0といえるのか分かりません。
バカでも分かるように説明をお願いします。

A 回答 (5件)

f(t) = 20(t - 2/5)^2 - 81/5 ってことは、


y = f(x) のグラフは x = 2/5 を軸とする下凸の放物線です。
2 > 2/5 ですから、 x > 2 の範囲はグラフの軸より右にあり、
t > 2 の範囲で f(t) は t について単調増加です。
ということは、
f(t) > f(2) = 20(t - 2/5)^2 - 81/5 = 35 ってことで
f(t) > 0 が成り立っていますね。
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f(t)=20(t-2/5)^2-81/5



t<2/5 のとき tが増加するとき f(t)は減少
t=2/5 のとき f(2/5)は最小値 -81/5

t>2/5 のとき tが増加するとき f(t)は増加するから

t>2 のとき f(t)>f(2)=35>0

だから

t>2 だから f(t)>0
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>(5t)^2>(t+2)^2+(2t+3)…①になることを示せばいい



鈍角三角形なのだから、

 (5t)^2 > (t+2)^2 + (2t+3)^2

じゃないの?

そして、「三角形の2辺の和は、他の1辺より大きい」という条件から t の範囲を求めると
 (t + 2) + (2t + 3) > 5t
より
 3t + 5 > 5t
→ t < 5/2
となって、結局
 2 < t < 5/2
ということ。
(これは結局使わないけど)

なので

f(t) = (5t)^2 - (t+2)^2 - (2t+3)^2   ①

として、それがすべての 2 < t < 5/2 に対して
 f(t) > 0
となることを示す。

①を展開すれば

f(t) = 25t^2 - t^2 - 4t - 4 - 4t^2 - 12t - 9
  = 20t^2 - 16t - 13
  = 20(t^2 - (4/5)t + 4/25) - 16/5 - 13
  = 20(t - 2/5)^2 - 81/5

このグラフを書いてみれば
・下に凸の放物線
・頂点は (2/5, -81/5)
・軸は t = 2/5
ということが分かります。

2 < t < 5/2 であれば、この範囲はすべて「軸の右側」にあるので f(t) は単調増加です。
従って、そのときの最小値は、t の範囲の左端つまり t=2 であり
 f(2) = 20・4 - 16・2 - 13 = 80 - 32 - 13 = 35 > 0
です。
よって、2 < t < 5/2 の範囲では
 f(t) > 0
ということになります。
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直角三角形の辺を a, b, c とし、


一番長い辺を c とすれば a²+b²=c² ですよね。
で、鈍角三角形は 直角三角形の斜辺 c が 長くなった形ですね。
つまり c²>a²+b² と言う事になりますね。
移項すれば c²-a²-b²>0 でしょ。

3辺を 5t, t+2, 2t+3 とすれば ,
(5t)²>(t+2)²+(2t+3)² で、移項すれば、
(5t)²-(t+2)²-(2t+3)²>0 ですね。
これを t の関数とみて f(t) とすれば f(t)>0 ですよね。
上の式を 展開して t の二次式になりますから、
平方完成して グラフの形を確認すれば、
t>2 の時に f(t)>0 が 導き出せる筈です。
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グラフにすればわかる, たぶん.

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