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(3) 立体を傾けても、水の量、空気の量はかわらないから、
空気の量、つまり、四面体AFGDの体積を、
底面を△AFGにして考えると、
(1/3)×△AFG×{(8√6)/3}=(2√2)/3
△AFG=(√3)/4
△AFGは正三角形だから、FG=x とおくと
(1/2)×(x)×[{(√3)/2}x]=(√3)/4
x^2=1
x>0 より
x=1
(答) FG=1 (cm)
(4) (3) の結果から、AG=1 (cm)
Dから辺ACに垂線DHを引くと、Hは辺ACの中点だから
AH=4 (cm)、DH=4√3 (cm)
よって、
GH=4-1=3 (cm)
△DGHで、三平方の定理より
DG=√(GH^2+DH^2)=√{3^2+(4√3)^2}=√(9+48)=√57
△DFGはDF=DGの二等辺三角形だから
辺FGの中点をIとすると、Iは辺FGの中点になり
IG=1/2 (cm)
△DIGは、∠DIG=90° の直角三角形になるから、三平方の定理より
DI=√(DG^2-IG^2)=√{(√57)^2-(1/2)^2}=√{57-(1/4)}=√(227/4)=(√227)/2
したがって、
△DFG=(1/2)×1×(√227)/2=(√227)/4 (cm^2)
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