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某国立大の情報系の学科に通っているものです。情報系では離散数学を習うのですが、あまり理解が進まず困っています。
今回は下記の問題に関して質問があります。
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}とする
(1)S上の2項関係で対照的なものはいくつあるか
(2) 〃 反射的なものはいくつあるか
(3) 〃 反射的かつ対照的なものはいくつあるか
という問題です。
S上の2項関係の総数は 2の100乗 個あるというところまでは分かります。
S上の二項関係をRとして
反射的・・・すべてのSの要素Xに対して(X,X)∈R
対象的・・・(X,Y)∈R ならば (Y,X)∈R
こんな感じだとは思うのですが、ここからどう回答していけばよいのか見当がつきません。
もし、解法をご存知の方がいましたらご助力願います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
うん, S×S が 100個の要素からなっていて, R はその部分集合だから 2^100通り.
ちょいと #1 へのコメントを見たんだけど, 「反射的」と「対称的」が逆だよ....
反射的な関係であれば全ての x ∈ S に対して (x, x) ∈ R だから, 「R に入れるかどうか」の選択ができる組み合わせは x ≠ y であるような (x, y) に限定されます. これは何組ありますか?
対称的な関係も同様で, (x, y) ∈ R if and only if (y, x) ∈ R だということは, 「x > y であるような (x, y) については ((y, x) ∈ R かどうかを決めれば) 自動的に決まってしまうので考えなくてもよい」ということになります.
ちょいと #1 へのコメントを見たんだけど, 「反射的」と「対称的」が逆だよ....
>>>逆に書いてしまいました;(1)と(2)の答えは逆です。
考え方はあんな感じで合っているのでしょうか?お手数かけます・・・
No.2
- 回答日時:
S 上の 2項関係がなぜ 2^100個あるのかは理解できてますか?
まず直積S×S=10×10=100
二項関係=直積の部分集合なので、100個の要素がある直積S×Sの部分集合の数を出せばよいので→2^100個
自分ではこういう風に覚えているのですが・・・
No.1
- 回答日時:
まあ、S = {1, 2, 3} くらいでまずは考えるべ。
S = {1, 2, 3}とすると・・・
S×S=9より二項関係の総数は2^9個
(1)(1,1)(2,2)(3,3)の3つが必ず含まれる直積の部分集合の数を出せばよい(?
(1,1)(2,2)(3,3)の3つは必ず含まれるので、直積の総数から3を引いて9-3=6
直積の総数を6個と考えればよいので2^6個
(2)X、YをSに含まれる数・S上の二項関係をRとしてとして
(X,Y)∈R ならば (Y,X)∈R
(X,Y)(Y,X)のどちらかがRに含まれるかどうか調べればよい(?
(1,1)(2,2)(3,3)の3つと
それ以外の要素の半分6/3=2を足して 5 したがって2^5個
(3)(1,1)(2,2)(3,3)の3つは必ず含まれるので
5-3=2から 2^2個
一応やってみました。ぜんぜん自信ありませんけど・・・;
(1,1)や(2,2)とかは対照的と見ていいんでしょうか・・・?
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