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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
漸化式を利用しているのだと思います。
工(0)=∫[0,π/2](sinT)^0]dt=(π/2)
工(1)=・・・今は不要。
n≧2
工(n)=∫[0,π/2](sinT)^n]dt
=[(-cosT)・(sinT)^(n-1)][0,π/2]
+(n-1)∫[0,π/2][(cosT)^2・(sinT)^(n-2)]dt
=(n-1)∫[0,π/2][1-(sinT)^2][(sinT)^(n-2)]dt
=(n-1)工(n-2)-(n-1)工(n)
------
n工(n)=(n-1)工(n-2)
工(n)=[(n-1)/n]工(n-2)
------
工(2)=(1/2)工(0)=(1/2)(π/2)
工(4)=(3/4)(1/2)(π/2)
工(6)=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)
工(8)=・・・
となります。
-----
No.1
- 回答日時:
公式ですね。
nが偶数のとき
∫[0~π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 1/2 * π/2
nが奇数のとき
∫[0~π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 2/3
となります。
質問ではn=4のときですから、
(与式) = (4-1)/4 * (4-3)/(4-2) * π/2 = 3/4 * 1/2 * π/2
です。
導出は以下の通り
I{n} = ∫{(sin(x))^n}dx
とおく(I{n}は関数列でn番目の項ってことです)
I{n} = ∫{sin(x)*(sin(x))^(n-1)}dx
右辺に部分積分を用いて
I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)∫{sin(x)^(n-2)}dx -(n-1)∫{(sin(x))^n}dx
I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2} -(n-1)*I{n}
右辺第3項を左辺へ移項して
n*I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2}
I{n} = {-cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2}}/n
というわけで、ここにI{n}とI{n-2}についての2項間漸化式が出来上がりました。
I{n}を[0,π/2]の区間での定積分とすると、右辺第1項は消えて
[I{n}](0~π/2) = (n-1)/n*[I{n-2}](0~π/2)
これをI{1}かI{0}になるまで繰り返し、
[I{1}](0~π/2) = ∫[0~π/2]{sin(x)}dx = 1
[I{0}](0~π/2) = ∫[0~π/2]dx = π/2
を適用すれば題意の公式が得られます。
ちなみに∫[0~π/2]{cos(x)}dxでも同様の公式が得られるので、勉強のつもりで導出してみてはいかがでしょうか。
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