微分方程式の問題1

分からないので教えてください

kを定数とする。
微分方程式　du/dt　=ku + k^2 -1
の任意の解がｔ→＋∞の時に3/2に収束するようなkの値を求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/26 07:37

出題者の意図が最終定理を使わせたいのかもしれないので一応書いておきます

Ｕ（ｓ）＝∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｕ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）とすると
ｓ・Ｕ（ｓ）－ｕ（０）＝ｋ・Ｕ（ｓ）＋（ｋ＾２－１）／ｓ
従って
Ｕ（ｓ）＝ｕ（０）／（ｓ－ｋ）＋（ｋ＾２－１）／（ｓ－ｋ）／ｓ
最終定理より
ｋ＝０のとき
ｕ（∞）＝ｌｉｍ（ｓ→０）・ｓ・Ｕ（ｓ）＝ｕ（０）＋（ｋ＾２－１）／（－ｋ）
ｋ≠０のとき
ｕ（∞）＝ｌｉｍ（ｓ→０）・ｓ・Ｕ（ｓ）＝（ｋ＾２－１）／（－ｋ）

ｕ（０）は任意だからｋ≠０である
従って（ｋ＾２－１）／（－ｋ）＝３／２を求めれば良い

No.1 回答者： shota_TK 回答日時： 2002/11/26 07:11

変数分離して

du/(ku+k^2-1)=dt
これを積分すると・・・
-(1/k)ln[ku+k^2-1]=t
e^(-kt)=ku+k^2-1
となりますから，ｔ→＋∞の時にu=3/2とすると
0=2k^2+3k-2
となりますので，これを解けばいいのかな？