グラフの平行移動を解く際に
y-q=f(x-p)
という公式を使って解くというように書いてあるのですが、何故上のような式になるのかその理論がどうしてもわかりません。
上の式自体は
『関数Aを移動した後の関数を関数Bとする。
関数A y=f(x)上の任意の点をQ(X,Y)とし、
x方向にp、y方向に移動した点をP(x,y)とすると、
x=X+p y=Y+q より X=x-p Y=y-q
Qは関数A上にあるから Y=aX+b
よって、関数Bの方程式は
y-q=f(x-p)
となる』
という解説から導かれたものらしいのですが、自分にはなぜこれ代入するだけで関数Bの方程式が導かれるのか理解できません。
それに、移動した点を元に関数を求めるのならば、
x=X+p y=Y+qを代入して y+q=f(x+p)になるような気さえしてしまいます。(もっとも正解が導けませんが……)
理論が判らなくても公式を使って問題は解けますが、どうしても気になってしまい悩んでます。どうかこの公式の意味をわかりやすく教えていただけませんでしょうか?
よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
これ、よくこんがらがるんですよね~。
一回わかった気になっても後で人に説明しようとすると、「あ、あれ?」ってまたぐらつく。あげく逆に+の方が正しく思えてくる始末。昔経験あるのでお察しします。説明は軸を動かすって考える方法などいろいろなのですが、ひとまず正攻法バージョンでいってみますから、合わなければまた返事ください。
平行移動する前のグラフ(*)は関数A y=f(x)を満たしています。
この時x方向にp、y方向にq平行移動したグラフ(**)上の点(x,y)はどんな条件式をみたすべきなのだろうか?と考えてみましょう。
点(x,y)を-p,-qだけ平行移動した点(x-p,y-q)はもとのグラフ(*)上の点だからAの式を満たしていなければならない、これを式に表すとy-q=f(x-p)となる。
ここ重要なので念をおしますね。
点(x-p,y-q)が(*)上なので、Aを満たすべき点は(x,y)ではなく(x-p,y-q)です
。このことを式でかけばy-q=f(x-p)となるのです。これが求める条件式となるのです。すなわち関数Bの正体はy-p=f(x-p)だったわけです。
いかがでしょうか。laviさんの感性とマッチしているといいんですが。
つまり関数Aは関数A上の点しか当てはまらないので、点(X,Y)を使った式しか出来ないということですよね?
だから、点(x,y)を直接入れることはできない。よって、点(X,Y)と同じものを表す点(x-p,y-q)を使う。なるほど~と思いました。
とってもわかりやすかったです。どうもありがとうございました!
No.9
- 回答日時:
No4です。
No8さんに賛成ですね(^^)結局(x,y)の満たすべき条件は「x座標からp引いて、y座標からq引いたら、それはもとのグラフy=f(x)上にある」ですから(x,y)の満たすべき「関係式」はy-q=f(x-p)というわけですよね!
No.8
- 回答日時:
NO6さんのアドバイスに対しての、[お礼]に感心しました。
あなたいいセンスをしてますよ。
関数のグラフは点(x,y)の集まりですね。
(x,y)の関係式をグラフの(軌跡の)方程式と呼びます。
(X、Y)の軌跡の方程式がY=f(X)です。
それを平行移動したグラフを表す方程式が、多くのアドバイスのように
X=x-p,Y=y-qより、y-q=f(x-p)となります。
移動したグラフ上の(任意の)点(x,y)は、この方程式を満たします。
つまり、y-q=f(x-p)こそが点(x,y)の軌跡の方程式です。
頑張ってください。
No.7
- 回答日時:
Y
|
----------+--------X
y |
|
|
-------+---------x
|
|
上の図のような2つの座標系を考えます。
たとえば、y=x^2 のグラフを左下の座標系で
書いたとします。
このグラフを(p,q)だけ平行移動したグラフを考えます。
この移動したグラフの頂点と、右上の座標系の原点が重なっているとします。
移動したグラフは、右上の座標系で考えれば
Y=X^2 ----*
とかけます。
ところで、Y+q=y , X+p=x ですから、Y=y-q, X=x-p これを
*式に代入すると平行移動の式になる。
新しい場所での座標系のXYが
もとのxyとくらべるとp,qだけ少ないということを意味しています。
No.6
- 回答日時:
関数y=f(x)のグラフPをx方向にa、y方向にbだけ平行移動したグラフQをとするならば、Q上の任意の点(x,y)をx方向に-a、y方向に-bだけ平行移動した点(x-a,y-b)は、P上にあります。
ゆえに、y-b=f(x-a) … (1)
が成り立ちますが、これは、Q上の任意の点(x,y)に関する関係式になっていますから、(1)は、Qを表す関数です。
関係式という言葉でようやく謎が解けました!
あの式はyとxの関係を表す式。関数そのものだったというわけですね。
式がなりたつところまでは他の皆さんの解説で理解できたんですけど、代入しただけの式がなぜ移動後の関数になるんだろうとずっと頭を捻らせてましたが、ようやく理解する事ができました。(すっごく基本的なことなのに……)
ありがとうございました!これでようやく先に進めます(^^)
No.5
- 回答日時:
グラフの移動を「公式」と言う形で捉えているところに何となく違和感を感じます,
理屈や式だけではなく,実際にグラフを書きまくって体得することも心がけると良いと思います.
そうすると,
y-q=f(x-p)
移行して書き直して,
y=f(x-p)+q
の式が,
「ほんとはy=1だけど5にしたいから+4しよう,だからq=+4」
「ほんとはx=-1のときだけどx=3でこのyにしたいからp=-4」
と言う作業が,ご質問の「公式」と言う形に一般化されることが体得出来るのでは?と思います.
この類の話は,高校物理で言えば,波動の位相のところで実際に用いられます.
(正弦波の位置や時間をずらすときに用います.)
また,微積分の置換積分でも出て来ます.
数学は分かるまでは悩みますが,分かるとぱっと世界がひとつ広がります.
ガンバッて下さいねー.
No.3
- 回答日時:
例題を作って考えると良いでしょう。
Q
y=2xのグラフをx軸方向に3、y軸方向に4平行移動したときのグラフの方程式を求めなさい。
A
y=2xのグラフは(0,0)を通ります。ここを基準に考えましょう。ここを(3,4)に平行移動すると考えます。すると、
(y-4)=2(x-3)
y-4=2x-6
y=2x-2
と公式でとけばこうなります。そしてこのy=2x,y=2x-2のグラフを書いて考えてみてください。しっかり平行移動してますね。laviさんが考えているように、y=2x-2のxに+3を入れてみてください。yは+4になりますね。つまり、+(プラス)の数字を入れて成り立たせるために、移動する分-(マイナス)してちょうじり合わせしているイメージです。
お解かりいただけたでしょうか?補足質問がありましたら、お気軽にどうぞ。
この回答への補足
わかりやすいご説明ありがとうございます。
ただ、jovihovaさんの考えである『二つの関数の答えを比べ、ずれているから帳尻を合わせる』というのは感覚的には既に判るんですけど、結果論だと思うので納得いかなかったんです。
でも、再確認として大変参考になりました。ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
>x=X+p y=Y+qを代入して
って、P(x,y)はy=f(x)上にないので代入できませんよ。代入できるのはy=f(x)上にある、Q(X,Y)のみですよ。
例えば、y=x上にない、x=0、y=1を代入して、1=0と計算しないでしょう?
y=f(x)で使われている変数のx、yと
点Q,点Pで使われている定数のx,y,X,Yがごちゃごちゃになっているのでしょう。
P(x',y')と置くか、Q(a、b)、P(c、d)と置いたら理解できると思いますよ。
この説明で分からなければ、遠慮なく補足へ。
ところで
「Qは関数A上にあるから Y=aX+b」の、"Y=aX+b"って何でしょう?いつのまにy=f(x)が直線になったのでしょうか?細かい事ですが・・・
この回答への補足
>x=X+p y=Y+qを代入して
って、P(x,y)はy=f(x)上にないので代入できませんよ。代入できるのはy=f(x)上にある、Q(X,Y)のみですよ。
……確かにそうですね。式だけに集中していたので落とし穴に気付きませんでした。
あと、関数をいつのまにか直線の式で書いていたのはこちらのミスです。申し訳ございませんでした。
No.1
- 回答日時:
(X,Y)を(x,y)に移動する。
Y=f(X)が成り立っているとしてx,yの関係式を求める。
どちらを大文字で考えてもいいですが、どちらが分かっているほうの
式かもう一度考えてください。
どちらが分かっていて、どちらを求めるのか。
またx方向に+pだけグラフが動いていたら、Xはその分だけ省エネできる。
まあ余り分かりやすい説明でもないですが、じっくり考えてください。
自分で納得できるまで。
この回答への補足
つまり、点(x,y)はまだ判っていない関数上にあるため、直接は求めれない。
だから、今わかっているY=f(X)に点(x,y)を当てはめてxとyの関係を表す式、つまり関数を求めるということでしょうか?
省エネの話はちょっと理解できなかったのですが、自分の気になっていた事は判った気がします。ありがとうございました!
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【 数1 二次関数 グラフの平行移動 】 写真では、x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したグラフ 3 2022/06/19 08:34
- 数学 数学 x軸に関して対称に移動した放物線の式は x軸に関して対称に移動された放物線の式のyに−をつけて 1 2022/07/14 21:03
- 数学 【 数I 2次関数 】 問題 放物線y=x²-4x+3を,y軸方向に平行移動 して原点を通るようにし 4 2022/06/26 22:03
- 数学 高校数学で質問があります。 2 2023/02/13 16:40
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 物理学 移流熱拡散方程式の解き方 フーリエ変換 1 2022/08/15 15:25
- 数学 対数関数のグラフ y=log(2)2(x+1)のグラフを書け 模範解答は「1+log(2)(x+1) 2 2023/07/08 01:51
- 数学 関数y=|x|x^2のグラフをかけ。という問題で、 y=|x^3|に等しいから、 このグラフのy<0 7 2022/07/16 15:21
- 数学 逆関数についてですが、y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると、y=f(x)が(a,b)を満たす時 5 2023/08/25 02:35
- 数学 【 数I 2次関数の対称移動 】 問題 ※写真 疑問 放物線y=2x²+xをy軸に関して対称移動 す 3 2022/07/02 23:28
おすすめ情報
- ・「みんな教えて! 選手権!!」開催のお知らせ
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・「黒歴史」教えて下さい
- ・2024年においていきたいもの
- ・我が家のお雑煮スタイル、教えて下さい
- ・店員も客も斜め上を行くデパートの福袋
- ・食べられるかと思ったけど…ダメでした
- ・【大喜利】【投稿~12/28】こんなおせち料理は嫌だ
- ・前回の年越しの瞬間、何してた?
- ・【お題】マッチョ習字
- ・モテ期を経験した方いらっしゃいますか?
- ・一番最初にネットにつないだのはいつ?
- ・好きな人を振り向かせるためにしたこと
- ・【選手権お題その2】この漫画の2コマ目を考えてください
- ・2024年に成し遂げたこと
- ・3分あったら何をしますか?
- ・何歳が一番楽しかった?
- ・治せない「クセ」を教えてください
- ・【大喜利】【投稿~12/17】 ありそうだけど絶対に無いことわざ
- ・【選手権お題その1】これってもしかして自分だけかもしれないな…と思うあるあるを教えてください
- ・集合写真、どこに映る?
- ・自分の通っていた小学校のあるある
- ・フォントについて教えてください!
- ・これが怖いの自分だけ?というものありますか?
- ・スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
- ・それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
- ・見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
- ・これまでで一番「情けなかったとき」はいつですか?
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・あなたの「必」の書き順を教えてください
- ・10代と話して驚いたこと
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・人生最悪の忘れ物
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分の面積を求める問題で 上−...
-
10の1.2乗が、なぜ16になるのか...
-
eのx乗のグラフはどうやって書...
-
グラフの類似度について
-
四時関数のグラフで上の図(wの...
-
関数、y=0 などのグラフの...
-
関数f(x)=x3乗−ax2条+(1-2a)x+4...
-
grape でグラフの範囲どう指定...
-
数学の進研模試について質問で...
-
数学
-
数学の領域の最大と最小問題で...
-
「f(x)とg(x)のグラフで囲まれ...
-
このグラフをフーリエ級数で示...
-
片対数グラフを普通のグラフに...
-
グラフの書き方
-
数3 関数の極限 どういう問題の...
-
4次関数のグラフの概形は「極大...
-
対数グラフについて
-
レムにスケートのグラフを描き...
-
「2次不等式2x²+3x+m+1<0を満た...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分の面積を求める問題で 上−...
-
4乗のグラフ
-
関数のグラフでy'''はなにを意...
-
タンジェントとアークタンジェ...
-
ゴンペルツ曲線の式
-
「グラフの概形を描け」と「グ...
-
10の1.2乗が、なぜ16になるのか...
-
数3 関数の極限 どういう問題の...
-
数学の質問です。分数関数の分...
-
三次関数のグラフ 微分した二次...
-
(高校数学) 放物線y=(x-2)^2とx...
-
Xについての方程式|x²-1|+x=Kが...
-
【 数Ⅰ 2次関数 】 問題 関数y=...
-
2点集中荷重片持ち梁について
-
増減表について
-
数学
-
-b/2aが2次関数の軸?になる理...
-
「2次不等式2x²+3x+m+1<0を満た...
-
AUCの求め方
-
三角関数 y=cos3θのグラフの書...
おすすめ情報