振り子に関してですが、、
「質点 m の小さな物体が長さ R の軽くて細い剛体棒の先端に取り付けられている振り子がある。この振り子の運動方程式は、周方向の力の平衡、および剛体棒と鉛直軸のなす振れ角 θ と質点の収束 v の関係から
dθ / dt = (1 / R) v
dv / dt = -g sinθ
と書ける。ここで、
v = φ √(R・g)
t = τ √ (R / g)
とおいて、上の運動方程式を変数 φ 、変数 θ を従属変数、τ を独立変数とする方程式に書き直せ。ただし重力加速度を g とする。」
という問題があるのですが、なかなかうまく φ と θ の式にすることができませんので、よろしくお願いします・・・・。
また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
単にv、tを消去すればよいと思いますが。
dθ / dt = (1 / R) v ・・・(あ)
dv / dt = -g sinθ ・・・(い)
v = φ √(R・g) ・・・(う)
t = τ √ (R / g) ・・・(え)
(あ)と(う)より
dθ / dt = (φ / R) √(R・g)
つまり、
dθ / dt = φ・√(g/R) ・・・(か)
(う)より、
dv/dt = dφ/dt √(R・g)
これを(い)に代入すれば
dφ/dt √(R・g) = -g sinθ
つまり、
dφ/dt = √(g/R)・sinθ ・・・(き)
(え)より、
t = τ √ (R / g) ・・・(え)
dt = dτ・√ (R/g) ・・・(く)
(か)と(く)より、
dθ/dτ・√ (g/R) = φ・√(g/R)
つまり、
dθ/dτ = φ ・・・(さ)
(き)と(く)より
dφ/dt・√ (g/R) = √(g/R)・sinθ
dφ/dt = sinθ ・・・(し)
書き直した方程式とは、(さ)と(し)です。
>>>
また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか?
問題文で「sinθ ≒ θ としてよい」との指示があればOKですけれども、そうでなければ、勝手に sinθ ≒ θ としてはいけません。
丁寧な回答、ありがとうございました!
どうやら従属変数と独立変数というものの表現の仕方を、少し勘違いしていたようです・・・・。
しかし、おかげですっきり理解することができましたm(__)m
No.2
- 回答日時:
先をこされたようです。
これは,もはや物理を離れて,道具としての数学の問題ですね。
θ(τ)とφ(τ)の連立微分方程式をつくれというのが題意です。
与えられた2式をすなおに書き換えましょう。
dθ/dτ = dθ/dt・dt/dτ などを使います。sinθ=θは微小
振動の近似であり,今はこれを前提としていませんから,使っ
てはいけません。そのまま放っときましょう。
最後はdθ/dτ とdφ/dτ の2式になりますよ。ANo.1さんの
計算,-sinθのマイナスどっかいっちゃいました。
回答、ありがとうございます!
私は題意自体を少し勘違いしていましたので、この回答はとても役に立ちました。
また質問するようなことがあれば、そのときはよろしくお願いしますm(__)m
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