２つの二次不等式の同時に満たす整数x

２つの二次不等式
x^2-2x-15>0
x^2-ax-2a^2<0

a>0のとき、この２つの不等式を同時に満たす整数xがただ１つ存在するようなaの値の範囲を求めよ。という問題です。
上の式を解いたらx>-3,5<xで、下の式をa>0の条件で解いたら-a<x<2aでした。それらを数直線上に書いてみたんですが、よくわかりません・・・。わかる方いらしたらお力貸してください。お願いします。ちなみにこの問題はマークシート方式で答えは「ア<a≦イ/ウ」という形になっています。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/07/20 16:31

よほど、この手の問題が考えにくいところがあるんだろう。

質問が後を絶たない。いつも言うことだが、座標を知ってるならそれを使うと簡単にいく。視覚的にも間違いにくいから。

x^2-2x-15＞0　より、x＞5、or、x＜-3.‥‥(1)
x^2-ax-2a^2＝（x+a）*（x-2a）＜0 ‥‥(2)

(1)から題意を満たすxの整数値が　6、or、-4である事は直ぐに気がつかねばならない。
そこで、y＝aとすると、(2)は（x+y）*（x-2y）＜0 ‥‥(3)となるからx+y＞0、x-2y＜0、or、x+y＜0、x-2y＞0　‥‥(4)
(1)と(4)をxy平面上に図示するとy＝a＞0という条件から、x＞5では　2y－x＞0、x＜-3では　x+y＞0を考えると良い事はわかるだろう。
ところが　片方の直線の傾きが　2でもう一方が　-1であることを考えると、x＞5で　2y－x＞0の場合だけ考えればよい事はすぐわかる。
そこで、2y－x＝0とy＝a（x軸に平行な直線）との交点（2a、a）がどのようになれば良いか？を考えると、6＜2a≦7。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2008/07/20 15:20

上の式の解ｘ＜－３，５＜ｘと、下の式の解の形から、その同時に満たす整数解は－４か６であることがわかります。

だから、その解を持つためには－ａ＜ｘ＜２ａの両端がどうなっていればよいかを考えればいいです。

・共通解が６なら
　　－ａは(0より小で)－４以上、かつ２ａは６より大きく７以下である
　　－４≦－ａ＜０かつ６＜２ａ≦７より、・・・
・共通解が－４なら
　　－ａは－５以上で－４より小さく、かつ２ａは(0より大で)６以下である
　　－５≦－ａ＜－４かつ０＜２ａ≦６より、・・・

というふうにみつけます。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2008/07/20 14:50

下の式を因数分解してその範囲を知ったのだから上の式からも同じように、これを充たすｘの範囲が分かりますね。

これは左右に分かれています。そうするとそれがダブる範囲が見えて来るではありませんか。ａの値を大きくすると下の式の範囲が広がってタブる範囲が増えます。逆にａの値を小さくすると範囲がせばまりますね。