数学Ⅰの連立2次不等式の問題です。

数学Ⅰの連立2次不等式の問題です。

(青チャート数学Ⅰ＋AのP165の練習107です)

問題...
xについての2つの2次不等式
x^2 - 2x - 8 < 0
x^2 + (a - 3)x - 3a ≧ 0
を同時に満たす整数がただ1つ存在するように、定数aの値の範囲を求めよ。




解答...
x^2 - 2x - 8 < 0を解くと、(x + 2)(x - 4) < 0から
-2 < x < 4・・・①
よって、①を満たす整数は x = -1, 0, 1, 2, 3
次に、x^2 + (a - 3)x - 3a ≧ 0を解くと、(x + a)(x - 3) ≧ 0から
-a < 3 すなわち a > -3 のとき x ≦ -a, 3 ≦ x・・・②
-a = 3 すなわち a = -3 のとき すべての実数
-a > 3 すなわち a < -3 のとき x ≦ 3, -a ≦ x・・・③
ゆえに、整数x = 3は、aの値に関係なく x^2 + (a - 3)x - 3a ≧ 0
を満たすから、2つの不等式を同時に満たす整数がただ1つ存在するならば、その整数はx = 3である。

[1] a > -3 の場合
(ⅰ) -3 < a < 2 のとき、①と②の共通範囲は
-2 < x ≦ -a, 3 ≦ x < 4
求める条件は、-2 < x ≦ -a を満たす整数xが存在しないことである。
よって -a < -1 すなわち a > 1
-3 < a < 2 であるから 1 < a < 2

(ⅱ) a ≧ 2 のとき、①と②の共通範囲は 3 ≦ x < 4
3 ≦ x < 4 を満たす整数は x = 3 のただ1つである。

[2] a ≦ -3 の場合
aがこの範囲のどんな値をとっても、-2 < x ≦ 3 は、①と③の共通範囲である。
-2 < x ≦ 3 を満たす整数は
x = -1, 0, 1, 2, 3
の5個あるから、この場合は不適。

[1], [2]から、条件を満たすaの値の範囲は a > 1




と解答に書いてあるのですが、どうしてこのような場合分けになるのか理解できないので、わかりやすく解説してください。

長文失礼しました。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/08/24 20:48

> を満たすから、2つの不等式を同時に満たす整数がただ1つ存在するならば、その整数はx = 3である。

－－－－－コメント－－－－－－－－－－－－－－
・ここまでは理解できているようなので省略。
その次に吟味するのは、(x＋a)(x－3)≧0 → x≦－a、3≦x となるか、または x≦3、－a≦xとなるか。

[1] は x≦－a、3≦x の場合を吟味しているし、[2]はx≦3、－a≦xの場合を吟味している。
だから、『[1] a > -3 の場合』というよりは、『[1] －a＜3、つまりa＞－3の場合』とした方がわかりが良いように思うし、『[2] a ≦ -3 の場合』というよりは、『[2] 3≦－a、つまり、a≦－3の場合』とした方がわかりが良いように思う。
また、a＝－3については、②と③の間で検討して不適格なことを確認しているので、[2] a＜－3の場合が良いように思う。
－－－－－コメント終わり－－－－－－－－－－－


[1] a > -3 の場合
(ⅰ) -3 < a < 2 のとき、①と②の共通範囲は
-2 < x ≦ -a, 3 ≦ x < 4
求める条件は、-2 < x ≦ -a を満たす整数xが存在しないことである。
よって -a < -1 すなわち a > 1
-3 < a < 2 であるから 1 < a < 2

－－－－－コメント－－－－－－－－－－－－－－
『-3 < a < 2 のとき』は『－2＜－a＜3』と同値である。
[1]（i）の意味は、二次関数 f(x)＝(x＋a)(x－3) の交点の１つである x＝－a が、－2～3の間（＝①の範囲内）にある場合を意味している。
－－－－－コメント終わり－－－－－－－－－－－


(ⅱ) a ≧ 2 のとき、①と②の共通範囲は 3 ≦ x < 4
3 ≦ x < 4 を満たす整数は x = 3 のただ1つである。

－－－－－コメント－－－－－－－－－－－－－－
『a ≧ 2 のとき』は『－a≦－2』と同値である。
（ii）の意味は、二次関数 f(x)＝(x＋a)(x－3) の交点の１つである x＝－a が、①の範囲外（＝－2より小さいところ）にある場合を意味している。
－－－－－コメント終わり－－－－－－－－－－－


[2] a ≦ -3 の場合
aがこの範囲のどんな値をとっても、-2 < x ≦ 3 は、①と③の共通範囲である。
-2 < x ≦ 3 を満たす整数は
x = -1, 0, 1, 2, 3
の5個あるから、この場合は不適。

－－－－－コメント－－－－－－－－－－－－－－
『a ≦ -3 のとき』は『3≦－a』と同値である。
[2]の意味は、二次関数 f(x)＝(x＋a)(x－3) の交点の１つである x＝－a が3以上のところにある場合を意味している。
だから、③は x≦3、－a≦xとなるが、aがどんな値であったとしても、x≦3の範囲だけで、①の-2 < x < 4をカバーしてしまう。この場合、整数解が2つ以上になるから不適格となる。
－－－－－コメント終わり－－－－－－－－－－－


[1], [2]から、条件を満たすaの値の範囲は a > 1

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2018/08/26 22:09

f(x)=(x＋a)(xー3)≧0から

y=f(x)において
ーa=ー3ならx軸に重解
ーa＞ー3ならx軸に交点なし
ーa＜ー3なら、x軸に交点あり
で場合分けが必要になる！