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 タイトルの実定積分を複素積分を利用(留数定理等)して行いたいのですが、上手くいきません。
 a=const>0,b=const,ガウス積分利用可です。

 フーリエんとこ勉強していたのですが、
形的には∫[∞,∞]exp(-ikx)*f(x)dxが一般的な形ではないかと・・
f(x)=exp(-ax^2)の場合です。

よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

面倒なことを無視して、ただ計算すればいいだけなら、


∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx
= Re[∫[-∞,∞]exp(-ax^2+ibx)dx]
= Re[∫[-∞,∞]exp(-a(x-ib/(2a))^2 - b^2/(4a))dx]
= √(π/a) * exp(-b^2/(4a))
です。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

回答誠にありがとうございます。確かにそうですね(^^)。

複素積分を利用した方法で解けとの要請がありましたので・・(汗
上手い積分経路があると思うんですが・・どうなんでしょう・・。

また機会があればよろしくお願いします。

お礼日時:2008/07/22 01:49

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Qexp(-ax^2)*cosx の証明

exp(-x^2)*cos2bx
 の0から∞までのxで積分の仕方が分りません。

不定積分が出来ないコトと答えが

(1/2)*exp(-b^2)√π 

となるコトは分るのですが、
証明が分りません。

本当に困ってます。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

ガウス積分

 ∫[-∞→∞] exp(-x^2) dx = √π

は既知であるとします。ガウス積分は全ての積分のうちでも最も重要なものかもしれません。というのは自由場のグリーン関数の経路積分表示がガウス積分に帰着されるからです。そこでガウス積分に帰着されるものはすべてガウス積分に帰着させることをお勧めします。
 exp(-x^2)*cos2bx = Re{exp(-x^2 +2ibx)}
ここでexpの引数を
 -x^2 +2ibx = -(x - ib)^2 - b^2
と平方完成するのがお決まりのやり方です。したがって
 ∫[-∞→∞] exp(-x^2 +2ibx)dx
= exp(-b^2)∫[-∞→∞] exp(-(x-ib)^2)dx = √πexp(-b^2)
であり、exp(-x^2)*cos2bxは偶関数なので
 ∫[0→∞] exp(-x^2)cos(2bx)dx = √πexp(-b^2)/2
ガウス積分のいろいろな導出法は
 George Boros, Victor Moll, Irresistible Integrals, Cambridge(2004), Chap 8

にあります。

ガウス積分

 ∫[-∞→∞] exp(-x^2) dx = √π

は既知であるとします。ガウス積分は全ての積分のうちでも最も重要なものかもしれません。というのは自由場のグリーン関数の経路積分表示がガウス積分に帰着されるからです。そこでガウス積分に帰着されるものはすべてガウス積分に帰着させることをお勧めします。
 exp(-x^2)*cos2bx = Re{exp(-x^2 +2ibx)}
ここでexpの引数を
 -x^2 +2ibx = -(x - ib)^2 - b^2
と平方完成するのがお決まりのやり方です。したがって
 ∫[-∞→∞] exp(-x^2 +2ibx)dx
= exp(-b^...続きを読む

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Q物理で応用される無限積分の式

∫[-∞ to ∞]exp[-(ax^2+bx)]dx
=√(π/a)exp{b^2/(4a)}
ただし、aとbは複素定数とする。

この有名っぽい(∵よく見かける)公式を証明して頂きたいです。証明の途中に図を使われる場合は図がかけないのでどんな図を使うかを言葉で説明していただければありがたいです。
 
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 ところが、aとbが複素定数(特にaが複素定数)の場合にはどうすればよいのかよく分かりません。
 
 よろしくお願いしますm(__)m 

Aベストアンサー

「aが正の実数」の場合に還元すれば良いでしょう。
 z=√a(x+b/2a)と変数変換すれば
  求める積分=exp[b^2/(4a)]/√a∫exp[-z^2]dz
但し、ここで積分路は複素平面上での斜めの直線z=-b/2a-t√a ---(1)
   (t:実数 -∞<t<+∞)全体となります。
 これが積分経路を実軸全体にしたものに等しいことが証明出来ればOK。
 
後はお決まりのコースですが、√a=|a|exp(iβ) (0<β<2π)として
  -R/|a|<t<R/|a|の間の積分=∫[-R<x<R]exp[-x^2]dx+∫[0<θ<β]exp[-(Rexp(iθ)^2]iRexp(iθ)dθ+∫[π<θ<π+β]exp[-(Rexp(iθ)^2]iRexp(iθ)dθ
ここで、第2項と第3項(円弧部分での積分)を評価すれば、
  |第2項|<=R∫[0<θ<β]exp[-R^2×β]=βRexp[-R^2×β]
     と評価出来て、R→∞のとき→0
     第3項についても同様に→0。
 以上より、R→∞のとき、左辺→∫[-∞<x<∞]exp[-x^2]dx
         (これが√πに等しいことは既知としました)
  とすれば良いのではないでしょうか。
  (計算間違いがあったらすみません)
 

「aが正の実数」の場合に還元すれば良いでしょう。
 z=√a(x+b/2a)と変数変換すれば
  求める積分=exp[b^2/(4a)]/√a∫exp[-z^2]dz
但し、ここで積分路は複素平面上での斜めの直線z=-b/2a-t√a ---(1)
   (t:実数 -∞<t<+∞)全体となります。
 これが積分経路を実軸全体にしたものに等しいことが証明出来ればOK。
 
後はお決まりのコースですが、√a=|a|exp(iβ) (0<β<2π)として
  -R/|a|<t<R/|a|の間の積分=∫[-R<x<R]exp[-x^2]dx+∫[0<θ<β]exp[-(Rexp(iθ)^2]iRexp(iθ)dθ+∫[π<θ<π+β]exp[-(Rex...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Qフーリエ変換の問題

f(x)のフーリエ変換F(x)は

F(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx

で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。

a>0として、 f(x)={0 (x>0 )
           {-exp(ax) (x<=0)

という問題があります。

私は

F(x)=(iω-a)^(-1)[exp(a-iω)x](-∞→0)までやりました。

ここで、ちょっとわからないところがあります。

exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。
でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。

普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら
ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて...

問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。

ご指導お願いします!

Aベストアンサー

指数法則により
exp{(a-iω)x}=exp(ax)*exp(-iωx)
となります。

ωxが実数の時、|exp(-iωx)|=1 となります。ですので
0<|exp{(a-iω)x}|=|exp(ax)|*|exp(-iωx)|=exp(ax)*1=exp(ax)
となります。
x→-∞とするとexp(ax)→0 (a>0の場合) となりますのではさみうちの定理により
|exp{(a-iω)x}|→0 となります。


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