ガウス積分の計算がうまくいきません。助けてください。 量子力学で∫[-∞→∞]exp[-ax^2+i

ガウス積分の計算がうまくいきません。助けてください。

量子力学で∫[-∞→∞]exp[-ax^2+ibx+c] dxを計算する必要があったのですが、

自分がした計算は
∫[-∞→∞]exp[-ax^2+ibx+c] dx
=√(π/a) exp[(b^2/4a) +c]となるのですが、
答えは
√(π/a) exp[(-b^2/4a) +c]でした。

∫[-∞→∞]exp[-ax^2+bx+c] dx
=√(π/a) exp[(-b^2/4a) +c]
においてb→ibにかえて-(ib)^2=b^2になるだけなのに
-b^2になる理由はなんでしょうか。

iは虚数単位、aは負、b,cは実数です。

質問者からの補足コメント

• すみません。aは正の数でした

    補足日時：2024/07/24 23:42

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/25 17:16

うん、-ax^2+bx+cを標準形に直す時に

-aでくくってることに注意です。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/25 07:39

>∫[-∞→∞]exp[-ax^2+bx+c] dx

=√(π/a) exp[(-b^2/4a) +c]

この時点で間違っている。
-ax^2+bx+c=-a(x-b/(2a))^2+b^2/(4a)+c
と変形できます。


exp(-ax^2+ibx+c)=exp(-b^2/(4a)+c)*exp(-a(x-ib/(2a))^2)
と変形して∲exp(-az^2)dzを適当な閉じた経路で考えればガウス積分が使えるようになります。