平行を証明するには

台形の平行でない向かい合う辺の中点を結んだ場合、その線は上底と下底と平行になる事を証明したいのですが、
（下のアドレスの図を見てください）

http://hiroyasu.s4.xrea.com/pic1.gif

ＡＤ//ＥＦ//ＢＣを証明するとき、ＡＦを直線で結び相似を作って証明する以外に、角度を使って証明（つまり錯覚・同位角が等しい事から平行を証明）することは可能でしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/12/06 00:55

AFとBCを延長して交点をPとすると、△AFD≡△PFC（AD//BC, DF=CFを使ってます）

よって、AF=PF
これとAE=BEを用いて、△ABPで中点連結定理を使って、EF//BP

という流れもあるかと思われます。

ちなみに、△の中点連結定理の証明も、相似を使わなくても、平行四辺形の性質だけで証明できます。（等積変形の概念を使っても証明できる）

No.4 回答者： michaela 回答日時： 2002/12/05 02:03

確かこの「教えてgoo」は質問後24時間、質問を削除できなかったような気がしますが…。

＃２の方のコメントを見て「へ～そうなんだ！！」って思ってビックリしましたが、私はよくわからないので…。
　
　とりあえず、この問題の解答ですが、おそらく平行四辺形と三角形に分けて解くのでしょう。

四角形ＡＢＣＤにおいて、
ＡＢに平行な線をＤから下ろし、ＢＣ上で交わった点をＧとする。
また、ＤＧの中点をＨとする。

ＡＢ、ＤＧとＡＤ、ＢＧはそれぞれ平行なので、ＡＢＧＤは平行四辺形である。
また、点Ｅ，Ｈはそれぞれ平行四辺形ＡＢＧＤの向かい合った辺の中点であるので、ＥＨはＢＧと平行であるといえる。…（１）

三角形ＤＧＣにおいて、点Ｈ、ＦはそれぞれＤＧ、ＤＣの中点である。
よって、三角形ＤＧＣと三角形ＤＨＦは相似であり、ＨＦとＧＣは平行であるといえる。…（２）

（１）（２）より、ＥＨ、ＨＦはそれぞれＢＧ、ＧＣと平行であることがいえたので、ＥＦはＢＣと平行であり、定義よりＡＤも平行であるといえる。

ってな感じじゃないでしょうか。
図形に点ＨとＧを加えて描いてみるとわかるのでは？

No.3 回答者： Shin_K 回答日時： 2002/12/05 01:12

ふたたび＃１です．

そっち方面にはシロウトなので＃２の人の指摘が意味するところは，よくわかりませんが，確かに，検索でだれかの個人情報が出ますね．

やばい事態なのならば，遠慮なく削除なりなんなりしてしまってください．質問ならもう一度すれば済むことですし．

No.2 回答者： plussun 回答日時： 2002/12/05 00:34

質問とは関係なく、また大きなお世話かもしれませんが

質問にあるアドレスは独自ドメインなので、調べれば個人情報が
わかってしまいます。
試しに検索にかけると大阪府＊町＊＊ビル６階と出てきます。
当然、名前もわかります。イニシャルの前と後ろが同じ英字ですよね。
詳しくは書きませんが。
ですからこのメッセージは削除依頼した方がいいと思います。

No.1 回答者： Shin_K 回答日時： 2002/12/05 00:21

AFを結んでも相似の図形はできないように見えるんですけど，「錯覚」ですかねえ？

というツッコミはいいとして．．．ACを結ぶというべきだったのでしょうか．

中学の数学でしょうか．もうすっかり忘れてしまいましたが，「限られた武器（定理）を使っていて嘘がなければ証明は正しい」と言っていいと思います．人と違う解き方をしていても不安に思う必要はないでしょう．丸つけする先生は大変ですけど．

本題ですが，
小学校で台形（または三角形）の面積の求め方を図で考えるとき，上下反転した合同図形を横にくっつけると平行四辺形になるから．．．と習った記憶があります．その要領で，この問題も，反転した図形を書き込むことにより角度を使った証明を思いつきました．