![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
あるサイトに、「対角線ACとBDの交点をOとし、辺AB上の任意の点Pと点Dを結び、対角線ACとの交点をQとおく。線分BQと線分POの交点をRとし、直線ARと辺BCの交点をMとおく。このとき、点Mは、辺BCの中点である。」とあり、
「チェバの定理により、
AP/PB×BS/SO×OQ/QA=1(SはBOとAMの交点)
メネラウスの定理により、
AP/PB×BD/DO×OQ/QA=1
よって、
BS/SO=BD/DO=2
このことから、Sは線分BOを、2 : 1 に内分する点である。
△ABCにおいて、点Oは辺ACの中点であるので、Sは△ABCの重心となる。
したがって、中線ASと辺BCの交点であるMは、辺BCの中点となる。」
と証明も書いてあったのですが、BS/SO=BD/DO=2になる理由と、Sが△ABCの重心となる理由が分かりません。非常に分かりにくい説明になってしまいましたが、どなたかご解答お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
これは四角形ABCDの条件が何か抜けていませんか?
解説の途中で
>BS/SO=BD/DO=2
>△ABCにおいて、点Oは辺ACの中点である
から四角形ABCDは平行四辺形であることを前提にしていると思います。
それを前提にして、
チェバの定理とメネラウスの定理から次式が導かれるのはいいですね。
>AP/PB×BS/SO×OQ/QA=1
>AP/PB×BD/DO×OQ/QA=1
この両式を見比べれば
BS/SO=BD/DO
ここでOはBDの中点ですからBD/DO=2
が成立しているのだと思います。
次に三角形の重心についてですが、三角形のある辺の中点と向かい合う頂点を結んで
2:1に内分する点は重心になります。重心の重要な性質の一つです。だからΔABCに
おいてOがACの中点でBS:SO=2:1ならSはΔABCの重心です。
もう一度、書きますが、ACとBDがそれぞれの中点で交わる四角形(平行四辺形)でないと
この証明は成立しないと思います。
参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm
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