数学的帰納法では証明できないが超限帰納法でなら証明出来るような簡単な例題ってありますでしょうか

整列集合Wの元に関するある命題Pが有って,それについて次の(*)が示されたとすれば,PはWの全ての元についても成立つ。
(*) aをWの任意の元とする時,x<aであるWの各元xについてPが成立つと仮定すればPはaについても成立つ。

というのが数学的帰納法の一般化であって,超限帰納法と呼ばれる。

というのをある書物で見かけたのですが超限帰納法は数学的帰納法の一般化ならば数学的帰納法では証明できないが超限帰納法でなら証明出来るような簡単な例題ってありますでしょうか?
是非,ご紹介ください。

No.2 回答者： yhposolihp 回答日時： 2008/08/02 09:40

グッドスタインの定理(Goodstein's theorem)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%83% …
(引用)　>> この証明はかなり易しいが・・・。
何処が易しいんでしょうか。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/08/02 08:58

そもそも超限帰納法ってもの自体が

かなり厄介なものを相手にするものなので
超限帰納法がでてきた段階で簡単ってのは・・・

私の知ってる限りでは
「ヘラクレスとヒドラの戦い」
の問題が比較的分かりやすいように思いますが
ペアノ公理系とかそこらの知識が必要です．
うまく説明できないので
基礎論の書籍を探してみてください
例えば，東大出版の
「ゲーデルの20世紀「不完全性定理」」にでてるはずです．