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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
全射・単射・可逆の概念は決して難しくない。
これらをよく理解するために是非、絵を描いてみると良いと思います。Aの要素aからBの要素bへ矢印を描いて、これがf(a)=bを表す、と考える。あるいはイメージしやすい文章題にしてみるのはいかがでしょう。
1.の方は、Aをひとの集まり、Bを番号札だと思って、f(a)=bはaさんがb番の札を持っている、という意味。f:A->Bなので全員が札を持っています。
番号をどれでもひとつ呼んだとき、必ず丁度一人のひとが「ハーイ」と返事するようにするには?
人数が無限の場合はどうでしょうか。
2. 沢山のひとAが自分のパンツ(名前入り)を脱いで、パンツを混ぜ合わせます。このパンツの山は集合Aと同一視できますね。さて、みんなかってにパンツを取って穿きます。誰aのパンツを誰bが穿いているか、がf(a)=bです。これが単射であるとは、誰もパンツを二枚以上重ねて穿いていない、ということ。全射であるとは、全員にパンツが行き渡ったということ。
人数が無限の場合、a番目のひとが2a番目のひとのパンツを穿くことにすると、パンツが大量に余りますから、無限集合では成り立たないですね。
あんまりリアリティがない?すいません。
No.2
- 回答日時:
2.有限集合A上の関数f:A->Aに関して、fが単射であるための必要十分条件はfが全射で
あること。
全射→単射:A={a_1,a_2,…,a_n}(Aの要素数はn)とする。
fは全射だから f(A)={f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)} = A
すなわち f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)がそれぞれ a_1,a_2,…,a_n のどれかに
対応している。{f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)}も{ a_1,a_2,…,a_n}も要素数は
同じだからその対応は1対1でなくてはならない。
単射→全射: fは単射だからa_i≠a_jならf(a_i)≠f(a_j)。
そこでf(A)はAのn個の異なる要素からなる集合である。そのようなものはA自身しかない。
なおこの問題はAが有限集合であることが本質で、無限集合ではどちらも正しくない。
証明のどこに有限性が効いているのか、また無限集合の場合に成立しない例を
挙げておけばポイントが高いかも知れません。
No.1
- 回答日時:
時節がらレポートのようなので完全回答はしません。
残りは自分で補って数学的にきちんとした証明を仕上げて下さい。
1.関数f:A->Bが可逆であるのは、fが全射でかつ単射な関数であるときに限ること。
fに対する逆写像 f^{-1}:B->A が作れることを示せば良い。
fは全射だから任意のy ∈ Bに対して f^{-1}(y) の候補となるx∈A が少なくとも1つはある。
さらにfが単射であることを使って、このxが一意的であることが示せる。
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