1.関数f:A->Bが可逆であるのは、fが全射でかつ単射な関数であるときに限ること。
2.有限集合A上の関数f:A->Aに関して、fが単射であるための必要十分条件はfが全射であること。
の、どちらかの証明を教えてください。
全射とは、上への関数
単射とは、1対1関数のことです。

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A 回答 (3件)

全射・単射・可逆の概念は決して難しくない。

これらをよく理解するために是非、絵を描いてみると良いと思います。Aの要素aからBの要素bへ矢印を描いて、これがf(a)=bを表す、と考える。

あるいはイメージしやすい文章題にしてみるのはいかがでしょう。
1.の方は、Aをひとの集まり、Bを番号札だと思って、f(a)=bはaさんがb番の札を持っている、という意味。f:A->Bなので全員が札を持っています。
番号をどれでもひとつ呼んだとき、必ず丁度一人のひとが「ハーイ」と返事するようにするには?
人数が無限の場合はどうでしょうか。

2. 沢山のひとAが自分のパンツ(名前入り)を脱いで、パンツを混ぜ合わせます。このパンツの山は集合Aと同一視できますね。さて、みんなかってにパンツを取って穿きます。誰aのパンツを誰bが穿いているか、がf(a)=bです。これが単射であるとは、誰もパンツを二枚以上重ねて穿いていない、ということ。全射であるとは、全員にパンツが行き渡ったということ。
人数が無限の場合、a番目のひとが2a番目のひとのパンツを穿くことにすると、パンツが大量に余りますから、無限集合では成り立たないですね。

あんまりリアリティがない?すいません。
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2.有限集合A上の関数f:A->Aに関して、fが単射であるための必要十分条件はfが全射で


あること。

全射→単射:A={a_1,a_2,…,a_n}(Aの要素数はn)とする。
fは全射だから f(A)={f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)} = A
すなわち f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)がそれぞれ a_1,a_2,…,a_n のどれかに
対応している。{f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)}も{ a_1,a_2,…,a_n}も要素数は
同じだからその対応は1対1でなくてはならない。

単射→全射: fは単射だからa_i≠a_jならf(a_i)≠f(a_j)。
そこでf(A)はAのn個の異なる要素からなる集合である。そのようなものはA自身しかない。


なおこの問題はAが有限集合であることが本質で、無限集合ではどちらも正しくない。
証明のどこに有限性が効いているのか、また無限集合の場合に成立しない例を
挙げておけばポイントが高いかも知れません。
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時節がらレポートのようなので完全回答はしません。

残りは自分で補って
数学的にきちんとした証明を仕上げて下さい。

1.関数f:A->Bが可逆であるのは、fが全射でかつ単射な関数であるときに限ること。

fに対する逆写像 f^{-1}:B->A が作れることを示せば良い。
fは全射だから任意のy ∈ Bに対して f^{-1}(y) の候補となるx∈A が少なくとも1つはある。
さらにfが単射であることを使って、このxが一意的であることが示せる。
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Aベストアンサー

>>エクセルで種類を数える関数が無いのは何故なんでしょうか?

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また、既存の関数を組み合わせたら、対処可能だから、無理して新しい関数を作る必要性もない、開発の優先順位が低いって判断もあるでしょうね。

私は、エクセルの表を作ったり、エクセルVBAでプログラムを作ったりしますけど、そういう関数が必要になったことが全くありませんし。

Q写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

大学の問題で、

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その通り。
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合成 fg の見間違いだとしても、
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Qエクセルの関数で

エクセルの関数辞典を見ていたら、CUMPRINC関数というのがありました。
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どうすればこの関数を使えますか?
ちなみにシートの上でやっても関数の反応をしませんでした。

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Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
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エクセルの関数で、ネストさせるときがあるとおもうのですが、

関数を内側に書いたらよいのか外側に書いたらよいのか分からなくなる時があります。

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こんばんは

Excel2003までは、ネストが7まで、2007では64までが可能です。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=excel+%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%88%E3%80%802003%E3%80%802007&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

「仕様上は可能」でも、複雑なネストは間違いが生じやすいですし、変更もしにくくなります。「出来るだけネストはしない」「適宜、中間結果をセルに出力する」という方法を採った方が、間違いが少なく、柔軟性のあるシステムになると思います。

>エクセルの関数に関してわかりやすく書いてあるページなどありますか。
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Q写像の単射と全単射

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全射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが存在
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単射であって全単射でない場合はあるのでしょうか?具体例を教えて
いただければと思います。

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f:R→Rで考えると、
(1) y=e^x
(2) y=1/(e^x+1)
などが、単射ですが全射ではありません。
(1)の値域は、y>0
(2)の値域は、0<y<1

Qエクセル関数の解読サイトなんてありますか?

エクセル関数の解読サイトなんてありますか?

いつもお世話になっております<(_ _)>

エクセルファイルに関数の入った数式が入力されています。
セルごとに複数の関数が入っていますが、私にはちっともわかりません。

そこで質問です。
こんなとき「エクセル関数を解読」してくれるようなサイトってありませんか?

たとえば検索窓があってそこに「=SUM(S1:S13)」わからなくて困っている関数式を入力。
すると答えの別ボックスに「S1~S13までの数値の合計」と出てくるようなサイト。

それに近いサイトでも良いので知っている方がいらっしゃればぜひ、教えてください<(_ _)>

Aベストアンサー

もし、

=IF(E14="","",IF(O14="",(IF(E14>"18:00"*1,"18:00",E14)-IF(C14<="8:00"*1,"8:00",C14))*24*1300,(IF(E14>"18:00"*1,"18:00",E14)-IF(C14<="8:00"*1,"8:00",C14))*24*1625))

だったら、どういう文章が出て欲しいのでしょうか?

もしE14が空白だったら、
 空白、
そうじゃなかったから、
 もしO14が空白だったら、
  (もしE14が18:00より大きかったら18:00、そうじゃなかったらE14)-(もしC14が8:00以下だったら8:00、そうじゃなかったらC14)×24×1300
 そうじゃなかったら、
  (もしE14が18:00より大きかったら18:00、そうじゃなかったらE14)-(もしC14が8:00以下だったら8:00、そうじゃなかったらC14)×24×1625

って感じですか?
数式をそのまま読解したほうが解りやすくないですか?

Q圏論:単射かつ全射であるのに、同型でない例

圏論を勉強し始めたのですが、「mono(単射) かつ epi(全射)であるのに、iso(同型)でない例」を以下のように考えました。この考え方は正しいでしょうか?


対象 ABC と、射 f:A→B 、g:B→C 、 h=g・f と、自明な3つの恒等射 からなる圏において、

これらは圏の定義を満たす。

fはmono (∵ Aへの射はAの恒等射のみであり、一意)

fはepi (∵ Bからの射は2つ。BからCの射はgのみなので、一意。BからBへの射は恒等射のみなので一意。)

fはisoでない (∵ BからAは射が存在しない)

Aベストアンサー

「自明な3つの恒等射」とはA,B,Cのことで、それが「3つ」だというのはA≠B、A≠Cだという意味でしょう。もしそうならば、なにしろBからAへの射がないんだから、fは同型射になりえない。良いと思いますけど、どのへんが怪しいとお考えなんですか?

Qエクセル関数を、書き写して分析できるツールはある?

タイトルの件、質問します。

エクセルの関数を分析する際に、エクセルの数式バーや、セルに入っている関数を
F2を教えて見るのでは、見にくい場合があります。

現在は、私は、メモ帳に関数をコピーして、分析したり、修正したりしています。
エクセルの機能or他ソフトで、関数を分析できるツールはあるのでしょうか??

【エクセルバージョン】
2003、2007

Aベストアンサー

難解な数式を理解したいとき,最も便利に利用できるのは,2003ではツールメニューのワークシート分析にある「数式の検証」です。
2007では数式タブにあります。

メンドクサイ数式のセルで数式の検証を使い,どの関数やどのカッコから計算が進んでいくのかを1ステップずつトレースして理解します。また意図しない結果がどの段階で発生しているのか追跡します。

このやり方は勿論間違った数式(意図しない結果が出てきた場合)を追跡するのにも使いますが,むしろ誰かに教わった「正しい数式」を理解する時に便利な方法です。
そもそも計算が通っていない(たとえばカッコの対応が間違えていて,Enterしても受け付けてくれないようなミスをしている場合)には使えません。



また,数式バーの中で数式の「中」にカーソルを入れて左右の矢印キーでカーソルを動かしていったときに,「(」や「)」をまたいだ瞬間に,対応する「閉じカッコ」「始まりのカッコ」が色つきで強調表示されるのを確認しながら,カッコの対応がまちがえてないかなどを調べるのも簡易な良い方法です。


あまり使わない方法ですが,数式の中で適宜ALT+Enterを打って「セル内改行」してしまい,数式を縦に分解して書いてみるのも整理しやすい方法のひとつです。

難解な数式を理解したいとき,最も便利に利用できるのは,2003ではツールメニューのワークシート分析にある「数式の検証」です。
2007では数式タブにあります。

メンドクサイ数式のセルで数式の検証を使い,どの関数やどのカッコから計算が進んでいくのかを1ステップずつトレースして理解します。また意図しない結果がどの段階で発生しているのか追跡します。

このやり方は勿論間違った数式(意図しない結果が出てきた場合)を追跡するのにも使いますが,むしろ誰かに教わった「正しい数式」を理解する時に便利...続きを読む

Qf:[a,b]→Rに於いて,fが有界変動で連続の時,f=f_1-f_2 (但し,f_1,f_2は連続な増加関数)

こんにちは。

f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。
V((s,t],f)は(s,t]⊂[a,b]でのfの変動

V((s,t],f)=sup{Σ[1≦k≦n]|f(s_k)-f(s_(k-1))|∈R∪{∞};n∈N}
(但し,s_0,s_1,…,s_nはs=s_0<s_1<…<s_n=tなる分割)
そして,特にV((s,t],f)<∞の時,fは(s,t]で有界変動という。
V((a,b],f)<∞の時,単にfは有界変動であるという。

が変動の定義だと思います。

f:[a,b]→Rに於いて,fが有界変動で連続の時,f=f_1-f_2 (但し,f_1,f_2は連続な増加関数)となる事を示せ。

という問題です。

f_1,f_2とも増加関数とし,f(x) (但し,x∈(a,b])の値が正の時はf_1>f_2で
負の時にはf_2がf_1を追い抜き,f_1<f_2の関係にすれば,
常にf_1,f_2とも増加関数でfの値をf_1とf_2との差で表す事ができることは頭の中では分かるのですが
実際には式でどうやって示せばよいのでしょうか?

こんにちは。

f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。
V((s,t],f)は(s,t]⊂[a,b]でのfの変動

V((s,t],f)=sup{Σ[1≦k≦n]|f(s_k)-f(s_(k-1))|∈R∪{∞};n∈N}
(但し,s_0,s_1,…,s_nはs=s_0<s_1<…<s_n=tなる分割)
そして,特にV((s,t],f)<∞の時,fは(s,t]で有界変動という。
V((a,b],f)<∞の時,単にfは有界変動であるという。

が変動の定義だと思います。

f:[a,b]→Rに於いて,fが有界変動で連続の時,f=f_1-f_2 (但し,f_1,f_2は連続な増加関数)となる事を示せ。

という問題です。

f_1,f_2とも増加関数とし,f(...続きを読む

Aベストアンサー

以下のサイトに証明があります。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/int3/bddvariation.htm

参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/int3/bddvariation.htm


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