
いくつか、解き方が分からないものがあります
★xの整式4x^3-2x^2-9x+7を、xの整式Aで割ると
商はBで余りがx+1となる。またAとBの和は2x^2+4xー5である。
この時、AとBを求めよ。
(答え A;2x^2-2x-2、B;2x-3)
★
x^3+4x^2+7x+5をx^2+x+2でわった余りは2xー1である。
(x^3+4x^2+7x+5)^3をx^2+x+2で割った余りを求めよ
(答え:10x+39)
★整式A(x)を、x+1で割ると、余り9
(x-1)(x-2)で割ると商B(x)、余り8x-1になる。
B(x)をx+1で割った時の余りを求めよ
(答え:3)
★整式A(x)を(x+1)^2で割った時の余りは9
(x-1)^2で割った時の余りは1である。
整式A(x)を、(x+1)^2(x-1)^2で割った時の余りを求めよ。
(答え:2x^3-6x+5)
最後の問題は、余りをax^3+bx^2+cx+dとおいて
(x+1)^3(x-1)で割ると考え
A(1)=a+b+c+d=1
ax^3+bx^2+cx+dを(x+1)^3で割ったときの余り=9
と考えて出すとおもったのでが上手くいきません、、、
どなたか、これらの解き方を教えてください!
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Q1
A(x)+B(x)=2x^2+4x-5
4x^3-2x^2-9x+7=A(x)・B(x)+(x+1)
4x^3-2x^2-10x+6=A(x)・B(x)
2(2x^3-x^2-5x+3)=A(x)・B(x)
P(x)/2=2x^3-x^2-5x+3 と置いて、
候補は±(3の約数)/(2の約数)で、±1,±3,±1/2,±3/2
P(3/2)=(27/4)-(9/4)-(30/4)+(12/3)=0
2,,-1,,-5,,3,,,|3/2
,,,,,,3,,,,3,,3
2,,,,2,,,-2|0
P(x)=2(x-(3/2))(2x^2+2x-2)=2(2x-3)(x^2+x-1)
余りが一次式なんで、割る式Aは二次式。
A(x)=(x^2+x-1),,,B(x)=(4x-6) 不適。
A(x)=(2x^2+2x-2)...B(x)=(2x-3) 適する。
--------------------------
A(x)B(x)=4x^3-2x^2-10x+6
>>かけて最高次数が3、たして最高次数が2なので、
>>一方は2次式、他方は1次式です。(?)
上記の理由で、A(x)が2次式、B(x)が1次式です。
A(x)=(2x^2+ax+b)
A(x)+B(x)=2x^2+4x-5
B(x)=(4-a)x+(-5-b)
(2x^2+ax+b)[(4-a)x+(-5-b)]=4x^3-2x^2-10x+6
(4-a)=2,,a=2
b(-5-b)=6,,,-5b-b^2=6,,,0=b^2+5b+6,,,(b+2)(b+3)=0,,,b=-2,,-3
b=-2,,,A(x)=(2x^2+2x-2),,,B(x)=2x-3 適する。
b=-3,,,A(x)=(2x^2+2x-3),,,B(x)=2x-2 因数定理により不適。
-----------------------------------
Q2
(x^3+4x^2+7x+5)=Q(x)・(x^2+x+2)+(2x-1)
(x^3+4x^2+7x+5)^3=P(x)・(x^2+x+2)+Ax+B
[Q(x)(x^2+x+2)+(2x-1)]^3=P(x)・(x^2+x+2)+Ax+B
Q(x)(x^2+x+2)=C、(2x-1)=D と置いて、
[C+D]^3=[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)+(D^3)]
=[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)]+(D^3)
[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)]は(x^2+x+2)で割り切れるから、
(D^3)=(2x-1)^3=8(x^3)-12(x^2)+6x-1 を(x^2+x+2)で割ればいいです。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,,,-20
1,,1,,2,,||,,8,,-12,,,,,,,6,,-1
,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,,,,,8,,,,,,16
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-20,,-10,,,-1
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-20,,-20,,,-40
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10,,,39 -------->剰余(余り)は、10x+39
-----------------------------------
Q3
A(x)=(x+1)・Q(x)+9、A(-1)=9
A(x)=(x-1)(x-2)・B(x)+(8x-1)
A(-1)=6・B(-1)-9=9 -------> B(-1)=3
ということは、B(x)を(x+1)で割った剰余は3。
-----------------------------------
Q4
A(x)=[(x+1)^2]・B(x)+9、A(-1)=9
A(x)=[(x-1)^2]・C(x)+1、A(1)=1
A(x)=[(x+1)^2][(x-1)^2]・D(x)+ax^3+bx^2+cx+d と置いて、
A(-1)=-a+b-c+d=9、A(1)=a+b+c+d=1
2b+2d=10,,,b+d=5 -----> d=(5-b)
2a+2c=-8,,,a+c=-4 ------>c=(-4-a)
を代入して、文字を減らします。
ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+bx^2+(-4-a)x+(5-b)
A(x)=[(x+1)^2][(x-1)^2]・D(x)+ax^3+bx^2+(-4-a)x+(5-b)
強引に[(x+1)^2]で割ります。[(x+1)^2][(x-1)^2]・D(x)は、割り切れるから、
剰余の部分を割ります。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,(b-2a)
1,,2,,1||,,,,a,,,,b,,,,,,,,,,(-4-a),,,,,,,,,,,,,(5-b)
,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,2a,,,,,,,,,,,,,,,a
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b-2a),,,(-4-2a),,,,,,,,,(5-b)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b-2a),,,,(2b-4a),,,,,,,,(b-2a)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-4+2a-2b,,,,5-2b+2a
このとき、[(x+1)^2]で割った余りが、0x+9だから、
-4+2a-2b=0,,,,-2+a-b=0 -----> b=a-2
,,5-2b+2a=9 ------------------->b=a-2
b=a-2 を代入して、文字を減らして、今度は[(x-1)^2]で割ります。
A(x)=[(x+1)^2][(x-1)^2]・D(x)+ax^3+(a-2)x^2+(-4-a)x+(-a+7)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,,,,,,,3a-2
1,,,-2,,,1,,||,,,,,a,,,,,,,,,,(a-2),,,,,,,,,,(-4-a),,,,,,,,,,,(-a+7)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,,,,,,,,,-2a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3a-2,,,,,,,,,,,-4-2a,,,,,,,,,,,-a+7
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3a-2,,,,,,,,,,-6a+4,,,,,,,,,,,3a-2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-8+4a,,,,,,,,,,,,-4a+9
-8+4a=0 ------>a=2
-4a+9=1 ------>a=2
剰余は、2x^3-6x+5 と出てきます。
微分を使っていいなら、その方がいいかもしれません。
No.2
- 回答日時:
最初
AB+x+1=4x^3-2x^2-9x+7
かけて最高次数が3、たして最高次数が2なので一方は2次式、
他方は1次式です。
A=2x^2+ax+bとすれば、B=(4-a)x-(b+5)と表せます。
答えのAは2x^2+2x-2じゃないですか。
2番目
x^3+4x^2+7x+5=(x+3)(x^2+x+2)+2x-1だから
(x^3+4x^2+7x+5)^3で右辺も3乗の展開をすると考えれば、
因数(x^2+x+2)を含まない項は(2x-1)^3だけです。
よって、(2x-1)^3を(x^2+x+2)で割るだけでいいですね。
3番目
A(x)=(x-1)(x-2)B(x)+8x-1とおけて、A(-1)=9だから、xに-1
を代入すればB(-1)の値が出ます。
最後は
A(x)=(x+1)^2(x-1)^2B(x)+(ax+b)(x+1)^2+9
A(x)=(x+1)^2(x-1)^2B(x)+(cx+d)(x-1)^2+1
とおいて、(ax+b)(x+1)^2+9と(cx+d)(x-1)^2+1の係数を比較すれば
求められると思います。
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