消費される電力が最大の条件

R2とRxが並列につながっていて、これにR1が直列につながっている電源がEの回路で、Rxで消費される電力が最大になるRxを求める問題で、
僕が出した答えは
Rx=R1*R2/(R2-R1)

となりました。
解き方として、
並列部分を合成抵抗R'とおいて、これにかかる電圧はRxにかかる電圧と同じで、この電圧をVとすると、
V=R'*E/(R1+R')となり、Rxで消費する電力は
P=V^2/Rx
=(E^2/Rx)*{R'/(R1+R')}^2

となって、{R'/(R1+R')}^2の部分が最大になるように相加相乗平均で求めたのですが、いまいち自身がありません。
どなたかチェックしてください。
お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： shippo_ppk 回答日時： 2008/08/17 00:02

いいえ、誤答です。

Rx=R1*R2/(R2-R1)
Rx = R1//R2
のどちらの方が消費電量が大きいが、数値を入れて確認してください。

>>電源電圧E'、電源出力インピーダンスR1//R2 に抵抗Rxを設置したと見なす

設置は接地の誤記です。習ってなかったら気にしないでください。計算するのが面倒なので答えが違っているだろうことの根拠として示しただけです。他の根拠としては
Rx=R1*R2/(R2-R1)
だと、R2<R1の場合Rxが負性抵抗になってしまいます。

>最大になるにはRx*{R'/(R1+R')}^2の部分が最大になればいいので、変形し、

(1/Rx)*{R'/(R1+R')}^2
の誤記と解釈しました。

>[1/{(R1*√Rx/R')+√Rx}]となるので分母が最小になればよく

ここまではOKです。

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>R1*√Rx/R'>0、√Rx>0より相加・相乗平均の関係から
>R1*√Rx/R'+√Rx≧2√(R1/Rx)

が導出された過程が分かりません。ここが怪しいと思います。

この回答へのお礼

どうも相加相乗平均を使うとおかしいことになるので、テブナンの定理を使ってみたところ、R1//R2の意味が理解できました。
回答者様のおっしゃるとおり、Rxの整合条件はRx=R//R2ですね!!
おかげで解決しました!!
ありがとうございました!!

お礼日時：2008/08/17 01:15

No.2 回答者： MtGenkotsu 回答日時： 2008/08/16 23:46

正解です。

別方法として、
電圧E、内部抵抗R1の電圧源にR2とRxの並列抵抗つまりR'を接続したと見なす事が出来ます。この場合、R'に最大電力を供給する条件は
内部抵抗＝負荷抵抗　この問題ではR1=R'
回答＃１はこれを説明しようとして誤ってしまったようです。

この回答への補足

正解でしたか。ありがとうございます。
しかしここでひとつ疑問があります。
たしかに内部抵抗=負荷抵抗で、R1=R'という条件がでますが、これはR'で消費される電力が最大であって、Rxで消費される電力も最大ということにもなるのでしょうか？

補足日時：2008/08/17 00:03

No.1 回答者： shippo_ppk 回答日時： 2008/08/16 21:16

Rx=R1*R2/(R2-R1)

は多分間違っています。

電源電圧E'、電源出力インピーダンスR1//R2 に抵抗Rxを設置したと見なすと、負荷Rxが最大の電力を消費する条件は、
Rx = 電源の出力インピーダンス
Rx = R1//R2
になると思います。答えの導出過程を示してください。

この回答への補足

>>電源電圧E'、電源出力インピーダンスR1//R2 に抵抗Rxを設置したと見なす

この部分が良く理解できません。
回路をどう変換したらそのようになるのでしょうか？

僕がやった解き方は、
初めにも書きましたがR2//Rxの部分を合成し、R'とすると、この回路はR1とR'の直列回路になるので、R'にかかる電圧をVとすると
V=R'*E/(R1+R')となります。
そしてRxで消費される電力は、
P=V^2/Rxより、
=(E^2/Rx)*{R'/(R1+R')}^2

最大になるにはRx*{R'/(R1+R')}^2の部分が最大になればいいので、変形し、
[1/{(R1*√Rx/R')+√Rx}]となるので分母が最小になればよく、R1*√Rx/R'>0、√Rx>0より相加・相乗平均の関係から
R1*√Rx/R'+√Rx≧2√(R1/Rx)
等号のとき最小になるので
R1+R'=2√R1*R'
(R1-R')^2=0
従ってR1=R'が導かれ、これより
R1*(R2+Rx)=R2*Rx
Rx=R1*R2/(R2-R1)

という感じになりました…

補足日時：2008/08/16 22:26