電気回路の問題です。 (1)回路の入力インピーダンスZ0。 (2)回路の共振周波数を求めよ。また、そ

電気回路の問題です。
(1)回路の入力インピーダンスZ0。
(2)回路の共振周波数を求めよ。また、そのときの電流I2の大きさI2。ただしR^2>L/Cとする。
(3)R2で消費される電力が最大になるCとR2を求めよ。
あっているか教えてほしいです。できれば、間違っている問題の解答解説してほしいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/29 11:49

(1)

　Z₀=R+jwL+1/(1/R₂+jwC)
　　=R+R₂/(1+(wCR₂)²)+jw{L-CR₂²/(1+(wCR₂)²)}

(2)
共振はZの虚部が0の時とすると
　L-CR₂²/(1+(wCR₂)²)=0 → w=(1/CR₂)√{CR₂²/L-1}
あるいは
　f=(1/2πCR₂)√{CR₂²/L-1}

したがって、条件は
　R₂²>L/C
の間違い。

電源電圧をEとすると共振時
　Z₀=R+R₂/(1+(wCR₂)²)=R+R₂L/CR₂²=R+L/CR₂
　I₂=E/Z₀=E/(R+L/(CR₂))

(3)
このような問題は、よく知られており、まともに解くと
ドツボにはまります。定石は

入力インピーダンスを
　Z=R+jwL
負荷インピーダンスを
　Z'=1/(1/R₂+jwC)
　　=R₂/(1+(wCR₂)²)-jwCR₂²/(1+(wCR₂)²)
としたとき、負荷の消費電力が最大になるのはインピーダ
ンスマッチング、つまり、実部が外しく、虚部が逆符号に
なるときだから
　R=R₂/(1+(wCR₂)²)
　wL=-{-wCR₂²/(1+(wCR₂)²)} → L=CR₂²/(1+(wCR₂)²)
→ R=R₂L/CR₂²=L/(CR₂)

つまり、
　CR₂=L/R
を満たせば、C, R₂は任意。

なお、負荷インピーダンスは　Rなので、I₀=E/(2R)となり、
Rの消費電力は
　RI₀²=E²/(4R)
となる。当然、この電力は、負荷インピーダンスの実態であ
る抵抗R₂の消費電力に等しい。

さらに、(L-C)という式は、次元が異なるから可笑しいと気づ
く必要がある。


参考にインピーダンスマッチングの時、最大電力が供給され
るのは、入出力インピーダンスを
　Z=R+jX, Z'=R'+jX'
とすると、R'の消費電力は
　I=E/{(R+R')+j(X+X')} , |I|=E/√{(R+R')²+(X+X')²}

　P=R'|I|²=E²R'/{(R+R')²+(X+X')²}≦E²R'/(R+R')²
　(X'=-Xのとき)
なので、R'=Rのとき、Pが最大となるのはよく知られている。

この回答へのお礼

毎度ありがとうございます！

お礼日時：2023/05/30 23:33

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/29 14:45

訂正

(3)で　CR₂=L/R　を満たせば、C, R₂は任意。
といいましたが、条件
　L=CR₂²/(1+(wCR₂)²)
に、R=L/(CR₂)をいれると
　1+(wL/R)²=(L/R)R₂/L=R₂/R
→ R₂=(R²+(wL)²)/R
そして
　C=L/(RR₂)=L/(R²+(wL)²)
となる、C,R₂となる。

この回答へのお礼

なぜ、R=L/(CR₂)を代入するのでしょうか。

お礼日時：2023/05/31 22:31