自然対数と合成関数の微分

自然対数が混ざった合成関数の微分なのですが、
Y=1/ln(x+2)
という関数の一階導関数と二階導関数を求めたいのですがうまくいきません。
どうすればうまくいくのでしょうか？

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/10/01 02:45

> どうすればうまくいくのでしょうか？

一度にまとめて全部計算しようとするとうまくいきません。
難しく感じるなら、一手順ずつ丁寧に計算しましょう。

y = 1 / ln(x + 2)
ln(x + 2) = uとおいて、
y = 1 / u
y = u^(-1)
合成関数の微分法より、
dy/dx = (dy/du)(du/dx) …… (*)
ここで
dy/du = -u^(-2) = -{ln(x + 2)}^(-2) = -1 / {ln(x + 2)}^2
du/dx = 1 / (x + 2)
となるなので、これを(*)に代入すると
dy/dx = -1 / (x + 2){ln(x + 2)}^2

二階導関数も同じです。
y' = -1 / (x + 2){ln(x + 2)}^2なので、
u = (x + 2){ln(x + 2)}^2とおくと、
y' = -1 / u
y' = -u^(-1)
合成関数の微分法より、
dy'/dx = (dy'/du)(du/dx)
ここで
dy'/du = u^(-2) = [(x + 2){ln(x + 2)}^2]^(-2) = {(x + 2)^(-2)}[{ln(x + 2)}^(-4)]
du/dx = [ (x + 2){ln(x + 2)}^2 ]' = (x + 2)'{ln(x + 2)}^2 + (x + 2)[{ln(x + 2)}^2]'　（積の微分法を使用）
du/dxは[{ln(x + 2)}^2]'を計算するのにさらに合成関数の微分法を使います。
v = ln(x + 2)とおいて、再び合成関数の微分法を適用し、その計算結果を元にdu/dxを求めて下さい。

慣れてくると、uやv等の文字式に置き換えなくてもある程度合成関数の微分法ができるようになってきますが、
それができるまでは、地道に計算していくしかないです(そうしないとな慣れません)。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/01 02:38

　ln(x+2)＝ｔとでもおいてみて下さい。

　すると、一階導関数はすぐに求められます。
　　dt/dx＝1/(x+2)、　y＝1/t

　　dy/dx
　＝dy/dt dt/dx
　＝-1/t^2　1/(x+2)
　＝-1/[(x+2) {ln(x+2)}^2]

　また、二階導関数は、一階導関数をｔで表しておいて商の微分を使えば求められます。
　　x+2＝exp(t)なので、dy/dx＝-exp(-t)/t^2

　　d^2 y/dx^2
　＝－[-exp(-t) t^2－2t exp(-t)]/t^4
　＝(t+2)exp(-t)/t^3
　＝{log(x+2)+2}/[(x+2){ln(x+2)}^3]
　　

　　

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/10/01 02:35

順に微分すれば良いですよ。

Y'=-[1/{ln(x+2)}^2]*{ln(x+2)}'
=-[1/{ln(x+2)}^2]*{1/(x+2)}
=-1/[(x+2)*{ln(x+2)}^2]
Y''=[(x+2)*{ln(x+2)}^2]'/[(x+2)^2*{ln(x+2)}^4]
=[{ln(x+2)}^2+(x+2)*2{ln(x+2)}/(x+2)]/[(x+2)^2*{ln(x+2)}^4]
={ln(x+2)+2}/[(x+2)^2*{ln(x+2)}^3]