にゃんこ先生の自作問題、二重階乗の逆数和Σ[n=0,∞]1/n!!

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質問者：nyankosens
質問日時：2008/11/06 13:28
回答数：3件

にゃんこ先生といいます。

Σ[n=0,∞]1/n!=e
ですが、
Σ[n=0,∞]1/n!!
や
Σ[n=0,∞]1/(2n!!)
や
Σ[n=0,∞]1/n!!!
などなどについて、具体的な値や、無理数かどうかなどの性質で知られていることはあるのでしょうか？
自作問題というより素朴な疑問です。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： arrysthmia
回答日時：2008/11/12 21:11

母関数を考えるとイイですね。

exp(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!　という関数をよく知っているから、
Σ[n=0,∞] 1/n! = exp(1) = e　が分かる。

各 n について　(2n)!! = (2^n)(n!)　が成り立つので、
Σ[n=0,∞] 1/(2n)!! = Σ[n=0,∞] { (1/2)^n }/n! = exp(1/2) = √e
も同様ですね。

もし、Σ[n=0,∞]1/n!!　が収束するならば、
f(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!!　の右辺は 1 以上の収束半径を持つので、
この範囲では項別微分できて、df/dx = Σ[n=1,∞] n{x^(n-1)}/n!!
= 1 + Σ[n=2,∞] x{x^(n-2)}/(n-2)!! = 1 + x f　と整理できます。
exp(-x^2/2) df/dx - x exp(-x^2/2) f = exp(-x^2/2)　と変形して、
両辺を積分すれば、exp(-x^2/2) f = ∫exp(-x^2/2) dx。
f(0) = 1 から、右辺の積分定数が決まって、
exp(-x^2/2) f = 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt。
よって、
Σ[n=0,∞] 1/n!! = f(1) = exp(1/2) { 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt }。