A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
> 0<α<1の場合はどうやって答えだすのですか?
そのときは、方程式はリプシッツ条件を満たしません。すると、どういうことがおこるかというと、初期条件y(0)=0を指定したとしても、いろいろな解がでてきてしまいます。次の関数を実際に微分して解になっていることを確かめてください。
(1) y=0(恒等的に0)
(2) 1/(-α+1)*y^(-α+1)=x (0<α<1)
(3) xを増加させたとき、はじめうちはy=0だが、
途中から(2)の曲線に変わるようなもの。すなわち、
y=0 (0<x<b)
y={(1-α)(x-b)}^{1/(1-α)} (b≦x)
いずれも、y(0)=0を満たし、かつ、方程式の解になっています。
このように、0<α<1のときは、解が一意的に決まらないのです。
No.2
- 回答日時:
訂正です。
後段
逆に、α≧1のときにy(0)=0を満たす解が存在するとすれば、
その関数は、y=0(恒等的に0)以外はありえません。
なぜなら、もしy=0でなければ、yは
1/(-α+1)*y^(-α+1)=x+定数 (α>1のとき)
または、
log(y)=x+定数 (α=1のとき)
の形でなければならず、
どちらの式もy(0)=0を満たすことはないからです。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/11/17 22:27
遅くなってすいません。
回答ありがとうございました。
この場合α≧1の場合はわかったのですが,
0<α<1の場合はどうやって答えだすのですか?
追加ですが,お願いできないでしょうか??
No.1
- 回答日時:
リプシッツ条件ですね。
f(y)=|y|^αとかくことにすると、
この問題のリプシッツ条件は、
ある定数Kがあって、(x,y)=(0,0)の近傍の2点(x,y1),(x,y2)で
|f(y1)-f(y2)|≦K|y1-y2|
が成り立つこと。この条件が成り立てば、
解が一意的に存在します。(解の存在定理です)
そのためには、方程式の形から、α≧1であることが必要です。
逆に、α≧1のときにy(0)=0を満たす解が存在するとすれば、
その関数は、y=0(恒等的に0)以外はありえません。
なぜなら、もしy=0でなければ、yは1/(-α+1)*y^(-α+1)=x+定数
の形でなければならず、この式がy(0)=0となることは
ないからです。
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