ガウス記号を伴う東工大の問題を解答を見てもわかりません

＜問題＞aを正の整数とする。正の実数xについての方程式

x=[(1/2){x+(a/x)}]・・・（＊）が解を持たないようなaを小さい順に並べたものを、
a_1, a_2, a_3 ,・・・とする。

（１）（これはわかりました）
a=7,8,9の各々について（＊）の解があるかどうかを判定し。ある場合は解xを求めよ

（２）
a_1,a_2を求めよ

＜解答＞＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（＊）が成り立つための必要十分条件は、xが正の整数かつ
x≦(1/2){x+(a/x)}＜x+1 ⇔ x^2 ≦ a ＜ (x+1)^2 -1・・・①

が成り立つことである。x=n(n=1,2,3...)のとき①を満たす正の実数aは
a=n^2, n^2+1, ... ,(n+1)^2-2・・・②
で、nがすべての正の整数を動くとき②のように表されない正の整数がa_1,a_2,...である。

（１）与えられた正の整数aに対し、①を満たす正の整数xは存在するならばただひとつであることに注意して、
a=7ならば2^2≦7＜3^2-1よりx=2
a=8ならば解なし
a=9ならば3^2≦9＜4^2-1よりx=3

↑↑↑ここまではわかります

（２）ｍを正の整数として、a_m=(m+1)^2-1であるから・・・・・★
a_1=3, a_2 = 8


★の式がどっからでてきたのかわかりません。
説明がとくにないので、ちょっと紐解けばわかりそうなのですが。。。

質問者からの補足コメント

• すいません、よくよく読んだら、「nがすべての正の整数を動くとき②のように表されない正の整数がa_1,a_2,...である。」のところがわかってませんでした。これ、具体的にはどういうことなのでしょうか？
  （（１）の解説はわかったのでこれもわかったつもりでした。
  
  また、「ｎの調整はなし」とはどういう意味でしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/12 21:09

No.5 回答者： zuku_mimi 回答日時： 2016/01/13 22:23

（＊）が成り立つための必要十分条件の中に、正の整数xに対して、a ＜ (x+1)^2 -1 つまり、a ≠ (x+1)^2 -1というのがありましたね。

だから、ｍを正の整数として、a_「m=(m+1)^2-1であるから・・・・・★」a_1=3, a_2 = 8となります。

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/13 06:52

何度も書き込んで申し訳ないですが、

x^2 ≦ a ＜ (x+1)^2 -1

のところでひとこと。

方程式が解をもつなら x が整数とわかり、a の範囲を絞り込めるか試すと

x^2 ≦ a ＜ x^2 +2x

を得ます。ここで、a の存在範囲の両端を制御するのが数列 x^2 ( x=1, 2, 3, ...) だと気づいたので上記の形で書いているのです。

x^2 +2x を (x+1)^2 -1 のように書く意図を汲み取れていれば、解説者の思考に同調できていると思いました。


それから、焦って空回りしているようにも見えましたので、もしそうだったら腹式深呼吸でもしましょうか。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/12 22:04

n^2 のつぎは (n+1)^2 だなと考えて ② を見るとか。

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/12 21:58

（＊）が解をもつときが ② です。

解をもたないときの話ですから、これらを正の整数全体から除くという作戦です。
n^2 を n=1, 2, 3, ... で配置したものをイメージしながら ② を除くと残るものが見えると思います。
それが a_1, a_2, a3, ... です。

n の調整は無し、と書いたのは、② をずるずる消したとき、小さい方に残ってたり何個か連続して残ったりすると、n をいじって書かなければならないからです。それがなくてよかったな、という気持ちが思わず出てしまいました。
余計なことを書きました。

No.1 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/12 20:47

② のところに説明が書いてあるYO!

n の調整は無し。