三次方程式の解と係数の関係の問題

Question

x^3-3x+1の三つの解をα、β、γ、とするとき次の値を求めよ。
（１）α＾５＋β＾５＋γ＾５　　　　　　　　　　　　（２）α＾６＋β＾６＋γ＾６　　　　　　　　　　　　（３）α＾７＋β＾７＋γ＾７この３題の問題がどしても解けません。２次３次は解けるのですが、５次以上の場合、解と係数の関係を使ってどのようにとけばよいかだれか教えてください。細かい式も書いてくださいお願いします。

StickEccelent · Accepted Answer

こんばんわ、 attest07251 さん。
一般的にn次方程式の解と係数の関係を求めるとき、
n次の係数を1としておきます。
これは、単に書く量を省いたり簡単にするだけの理由です。
いま、方程式を
(x-α_1)(x-α_2)×…×(x-α_n)=0 とすると
これらを展開したときに
x^0 の係数 ＝ (-1)^n*α_1×…×α_n
…
x^(n-1) の係数 ＝ -(α_1×…×α_n)
とここまで、解の基本対称式と各係数がそれぞれ結びついています。
このようにして、解と係数の関係を導くことができます。

＊ 各項の次数とその項の係数と等しい基本対称式の次数が同じです。
＊ 符号と次数の関係について気をつけてください。

rinri503 · Answer

解と係数の関係から
　　α＋β＋γ＝０
　　αβ＋βγ＋γα＝－３
　　αβγ＝１　をだします　これらから
　　α＾２＋β＾２＋γ＾２＝－６をだします
　　次に　与式から
　　α＾３－３α＋１＝０
　　β＾３－３β＋１＝０
　　γ＾３－３γ＋１＝０　とおきます
　あとは
　　たとえば　α＾５　をα＾３－３α＋１で割ります

　　与式＝（α＾３－３α＋１）（商）－α＾２＋９α－３
　　　　　　　＋（β＾３－３β＋１）商＋あまり＋
　　　　　（γ＾３－３γ＋１）商＋あまり

　　　　＝あまりの部分を書く　あとは最初の出してあるものを代入する　以下同じやり方

StickEccelent · Answer

はじめまして attest07251 さん
No4の yaksa さんのご回答にもありますが、
一般にn次方程式の解と係数の関係は
解を項とする基本対称式が、n次方程式の係数を用いてあらわせることになると思います。
その解と係数の関係の性質は、かなり規則性があると思います。

yaksa · Answer

対称式は、必ず基本対称式（解と係数の関係で出てくる式）で書き表せるので、なんとか、ごちゃごちゃ頑張ってれば、いつか絶対に解と係数の関係が使える形になります。２次３次ができるなら、５次以上ができないのは根気が足らないだけです。やり方は全く一緒です。

とはいってもこの問題の場合、
α＾n＋β＾n＋γ＾n
の形がたくさん出てくるので、この形について漸化式を考えるのが一番楽でしょうね。

　α＾(n+1)＋β＾(n+1)＋γ＾(n+1) 
= (α＋β＋γ)(α^n + β^n + γ^n) - (αβ+βγ+γα){α^(n-1)+β＾(n-1)＋γ＾(n-1)} + αβγ{α^(n-2)+β＾(n-2)＋γ＾(n-2)}
= 3{α^(n-1)+β＾(n-1)＋γ＾(n-1)} - {α^(n-2)+β＾(n-2)＋γ＾(n-2)}

これと、初期条件
α^0＋β^0＋γ^0 = 3
α＋β＋γ = 0
α^2＋β^2＋γ^2 = (α＋β＋γ)^2 - 2(αβ+βγ+γα) = 6
を使うと、
α^3＋β^3＋γ^3 = 3*0 - 3 = -3
α^4＋β^4＋γ^4 = 3*6 - 0 = 18
α^5＋β^5＋γ^5 = 3*(-3) - 6 = …
…
と順番に出てきますね。

計算間違いあるかも。自分で確かめて。

ryn · Answer

x^3-3x+1=0 ですよね．

2次3次ができているなら
　(α^2+β^2＋γ^2)(α^3+β^3＋γ^3)
等を考えると早いと思います．

k_train_9999 · Answer

ヒントとしてｘ＾３－３ｘ＋１＝０の解がα、β、γということはそれを代入すれば（左辺）＝０になりますよね。例えばαについて書くとα＾３－３ｘ＋１＝０・・・・(1)は成り立ちますよね。例えば５乗の場合は今の式に両辺にα＾２を掛ければ
　α＾５－３α＾３＋α＾２＝０
　つまりα＾５＝３α＾３－α＾２・・・・(2)
　今度は(2)のα＾３のとこに(1)のα＾３＝３αー１を代入すると、α＾５＝９α－α＾２－３になります。
同じようにしてβ、γもやって足す。２次３次の解法はわかっているようなのでその答えを代入すればいいだけです。６乗も７乗もそうやってαとかの次数を下げればできます。細かい式を書かなくてもこれでお分かりになるかと思います。

purity_mv · Answer

x^3-3x+1は等式になっていないので解が求められないと思います。

三次方程式の解と係数の関係の問題

こんばんわ、 attest07251 さん。

解と係数の関係から

はじめまして attest07251 さん

対称式は、必ず基本対称式（解と係数の関係で出てくる式）で書き表せるので、なんとか、ごちゃごちゃ頑張ってれば、いつか絶対に解と係数の関係が使える形になります。

x^3-3x+1=0 ですよね．

ヒントとしてｘ＾３－３ｘ＋１＝０の解がα、β、γということはそれを代入すれば（左辺）＝０になりますよね。

x^3-3x+1は等式になっていないので解が求められないと思います。

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