四次方程式 解の公式 一般解

こんにちは。
弱塩基と強酸の中和滴定をシミュレートをして[OH-]の濃度と滴定量のグラフを書かせたいと思っています。そのためには4次方程式の解を求めなければならないらしいのです。HP等で検索するといろいろ解法(四次方程式の）が載っているのですが私には難しすぎてなかなか理解できません。たれか助けてください。欲しい回答は
四次方程式
X^4+a*X^3+b*X^2+c*X+d=0の一般解です。
できれば二次方程式の解の公式のような明解な一般解の形で示していただけるとありがたいです。上式に使っているa,b,c,dだけであらわした一般解がいいです。
以上どなたか答えてください。

No.8 回答者： akm11o 回答日時： 2007/10/18 14:52

ここにありますよ。

複素数の知識は必要みたいです。
二次方程式の解の公式みたいな解の公式の形で載っています。

参考URL：http://www.akamon-kai.co.jp/yomimono/kai/kai.html

No.7 回答者： chicago911 回答日時： 2004/10/31 01:34

Net 上にいろいろ解法 Soft が公開されているんですね。

別段それを使用することは構いませんが、では何故それで正しい解が得られるか、をわからないまま解を得る、と言うのは、科学的には問題です。実際解いて見ますと四次方程式の解は、手計算で得られることが稀です (整数解があるとき位で)。後は結局 Excel を用いざるを得ません。

結論は、「二次方程式の解の公式のような明解な一般解」 はありません。三次方程式の解ですら、前回答に記載したように表しますが、この m、n を一般式で書くのは困難です。前回答の三次方程式の解の部分を再掲して補足しますと、
t^3 + A*t + B = 0
A = -3mn
B = m^3 + n^3
となる a、b を求め、
{t - (m + n)}*{t^2 + (m + n)*t +m^2 + mn + n^2} = 0
と変形し、m、n を求めることになります。最終的な解 t は、
m + n
mw + nw^2
mw^2 + nw
となり、ここで w は、x^3 = 1 の解で、w^2 + w + 1 = 0 を満たします。m、n は共に実数か、共役の複素数となり、前者の場合は、1 実根、2 虚根 (共役の複素数)、後者の場合は 3 実根を持ちます。
で、
mn = -A/3、m^3*n~3 = -A^3/27
m^3 + n^3 = B
から、m^3 と n^3 が二次方程式の根と係数の形から求まりますが、この三乗根 (実数解、虚数解) を開かないといけないので、一般式にすることはまず無理です。

おおよその手順は示してありますので、一度自分で解いてみて下さい。その過程でわからなければ再質問してもらえれば、手助けはします。

科学的に考えて行くのであれば、理論的に正しいことが証明できないものを安易に使うべきではありません。

No.6 回答者： papercrafts 回答日時： 2004/10/29 23:40

昔の記憶なのであいまいなのですが、3次方程式までは一般的な解の公式があったのを覚えています。

4次以上の場合は公式がなかったような気が。。。。

Xの変域で解が1つしかないことが確実ならば、2分割法のような単純な試行錯誤で求められると思います。

No.5 回答者： keikan 回答日時： 2004/10/29 13:47

もうちょっと、いいかも＾＾

参考URL：http://www.vector.co.jp/soft/win31/edu/se122338. …

No.4 回答者： keikan 回答日時： 2004/10/29 13:34

さくっと、これなんかどうですか＾＾；；

参考URL：http://www3.sansu.org/tool/pol.cgi

No.3 回答者： chicago911 回答日時： 2004/10/29 05:26

No. 2 の方が引用している URL は知っていまして、これだけで解法を求めるのはちょっと困難です。

二次方程式のような形で表すのはちょっと困難です。近頃、必要があって、1 ヶ月かけて Excel の File を作りました。そのとき、三次方程式の解法、係数が複素数のときの二次方程式の解法が必要になりました。

簡単に手順を書いておきますので、参考までに。

X^4+a*X^3+b*X^2+c*X+d=0 で、t = X - a/4 とおいて代入し、
t^4 + A*t^2 + B*t + C = 0 の形にします。
ここで、別に、
(t^2 + D) ^2 + E*(t + F)^2 = 0
{(t^2 + D) + SQRT(E)*(t + F)}*{(t^2 + D) + SQRT(E)*(t + F)} = 0 を開いた
t^4 + (2D + E)*t^2 + 2EF*t + EF^2 = 0 を考え、
2D + E = A
2EF = B
EF^2 = C
となるような D、E、F を求めます。E が正または 0 なら、実係数二次方程式二本になるので後は簡単でしょう。負であるときは、複素係数二次方程式二本になるので、係数が複素数のときの二次方程式の解法が必要になります。

次に、 D、E、F を求める段階で、三次方程式の解法が必要になります。これは、二次の項を同じように消した
t^3 + A*t + B = 0 の形にし
A = -3mn
B = m^3 + n^3
となる a、b を求め、
{t - (m + n)}*{t^2 + (m + n)*t +m^2 + mn + n^2} = 0
と変形し、m、n を求めることになります。最終的な解 t は、
m + n
mw + nw^2
mw^2 + nw
となり、ここで w は、x^3 = 1 の解で、w^2 + w + 1 = 0 を満たします。m、n は共に実数か、共役の複素数となり、前者の場合は、1 実根、2 虚根 (共役の複素数)、後者の場合は 3 実根を持ちます。

この過程をすべて整理した File は持っているのですが、Text 形式ではこの辺が限度です。高校程度の数学の知識があれば、これで解けると思います。後の計算は、Excel に入れてしまえば、最初の式に戻った a、b、c、d の値を入れることで解が出る File が作れます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
まず回答の内容をよく理解することからはじめます。
判らないことがあったらまた教えてください。

お礼日時：2004/11/09 01:45

No.2 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/29 01:28

こんなん見つけましたけど。

結構大変そうですねf^^;

参考URL：http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node15.h …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私もこのページは見つけたのですが、内容がよくわかりません。誰かもっと簡単に教えてください。

お礼日時：2004/11/09 01:36

No.1 回答者： funifuni11 回答日時： 2004/10/29 01:16

四次方程式に解の公式が存在することは、

確かに一般的に知られていますが、
かなり難解なので、実用上に使われることは
ほぼないとおもいます。

できるとすれば、うまい具合に因数分解するか、
または数値計算で近似値を求めるしかないのでは。

この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。
うーん。かなり難しそうですね。

お礼日時：2004/11/09 01:34