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こんばんは。
この前、化学結合論に関する本を読んでいたんですが
その本の中で「硫酸や五フッ化リンなどの三周期元素は3d軌道を使った
混成軌道を作ると思われがちだが、実際はエネルギーが高くほとんど結合には使われていない。」
と書いてありました。
確かに3d軌道とは少しエネルギー差が大きいと思うのですが、
それなら一体どうやって六本や五本の結合手を出せるのでしょうか?
どうか詳しい方、教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

>硫酸イオンの構造では二重結合が2本含まれています…


こっちの方は、問題無く二重結合では「ない」ですね。大学以上では絶対に二重結合だとは教えません。
ただ価数としては(HO)2S^2+(-O^-)2になるので6+で四配位六価と言えます。

リンの方ですが、確かにおっしゃるとおりですね。電子二個多いです。
でもなー、三中心結合に四電子を入れると結合と反結合の両方のMOに電子が入ってしまうので、ちょっと不満が残ります。
元の原子軌道が三つなので、MOも三つ出来、「結合」「非結合」「反結合」となるはずですね。
そこで「結合」と「非結合」に二つずつ電子を入れてやると収まるのですが、オクテット則からは外れますね。
今のところオクテット則から外れても三中心四電子結合だと考えるしかないようです。(恥;
いつもここの処が割り切れないんです、今回は忘れていました、済みません。
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この回答へのお礼

硫酸は大学以上では配位結合と教わるのですね。
興味深いです。早く大学で学びたくなってきました。
五塩化リンは、やはり難しいみたいですね。
非結合軌道に入れれば良さそうですが、オクテットを超えてしまっては……
でも、今まで理解できていなかった三中心二電子結合や、三中心四電子結合のことがよく分かりました。
結合論だけでもこんなに問題が多いとは知りませんでした。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/15 11:43

> 硫酸についてですが、


> Wikipediaの資料でも二重結合が2本含まれていますし
> その本にも硫酸イオンの構造では二重結合が2本含まれています。
> これはどちらが正しいのでしょうか?

どっちでもいいんですよ。

配位結合で考えたときのメリット:オクテット則を満たす。
配位結合で考えたときのデメリット:硫黄原子の形式電荷が+2になる。
二重結合で考えたときのメリット:各原子の形式電荷がゼロになる。
二重結合で考えたときのデメリット:オクテット則を満たさない。

双方にメリットとデメリットがありますし、つまるところ解釈の問題なので、どちらが正しいのか?という議論は、不毛な議論になることが多いです。私自身は
・硫酸や硫酸エステルの結合長の違いを説明するには二重結合で考えた方がわかり易い
・化合物のデータベースでは二重結合で表していることが多い
ので二重結合で考える方が好きです。ですけど、「配位結合で考えると硫酸はオクテット則を満たす」ということも大事なことだと考えていますので、配位結合で考えるのもアリだと思っています。

形式電荷については、参考URLのNo.1さんの回答を参照して下さい。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4422036.html
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはりこうだ、と一つに決めることはできないんですね。
VSEPR則や分子軌道法ももっと勉強しないといけませんね。
私も二重結合で考える方が好きです。

お礼日時:2008/11/20 20:45

硫酸はsp3ですね、簡単です。

構造は(HO)2S(→O)2で、硫黄のlone pairが酸素に配位してオクテット則を満たしています。
五塩化リン、五フッ化リンなどはリンがsp2で平面に三つのハロゲンが並び、上下のアピカル(アクシャルでも良い)位置に二つのハロゲンがσ-p-σの三中心二電子結合で付いています。これでオクテット則を満たしています。上下のハロゲンから電子一つずつ、リンはp軌道を提供するだけで電子を出さない。
三中心二電子結合はジボランなどで有名です。
第三周期非金属の超原子価結合などとよばれ、Martin先生の配位子R-CF2-O→の酸素がアピカル位に上下から付くMartin型化合物が二十年以上前に流行りました。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

硫酸についてですが、Wikipediaの資料でも二重結合が2本含まれていますし
(Wikipediaの記事をホイホイ信じるのもどうかと思いますが)
その本にも硫酸イオンの構造では二重結合が2本含まれています。
これはどちらが正しいのでしょうか?
高校では配位結合と教わりましたが、高校化学は考えなくていいことを排除したがる傾向があるので……

五ハロゲン化リンは(一応)納得できました。
この場合、Pの3s・3px・3pyがsp2混成になって不対電子三個、3pzに孤立電子対、で合っているでしょうか?
sp2は三ハロゲン化リンと同じくCl3つ結合し、あと上下にCl2つとなり
Pはp軌道を貸すだけということですが、もう2pz軌道は孤立電子対で満杯になっているのではないですか?
あと、三中心二電子結合とは、中心の原子が軌道を貸すだけで
両側の原子が直接共有結合しているような状態と思っていいのでしょうか?
ただ、両原子の軌道の重なりが小さいので通常の共有結合とは少し弱い……と。

長いですが、よろしければご回答お願いします。

お礼日時:2008/11/14 21:46

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こんばんは。

[SiF6]2- のSiの軌道はsp3d混成軌道になるらしいのですが
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Aベストアンサー

Bu4POH + nAcOH -> ?
と言う反応に関してですが、私もこの反応については良く知りません。
しかし、酢酸イオンの求核性の低さ、立体障害、ブチル基の電子求引性の低さ、キレート型配位子が一つも無いことなどから、この反応の生成物はホスホランではなくて、単なるイオン性化合物だと思いますが?
また、過剰の酢酸を存在させても、6はいい以上への配位数増加は見られないと思います。結局溶液中に見えるのはBu4P^+イオンだと思いますが。フッ化物イオンくらい強いルイス塩基を使えば、配位が見えるかもしれません。

私も本をチェックしましたが、確かに7配位化合物の存在が示唆されています。
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ただし、錯体の構造によって考えるべき多中心結合は変わることがありますので、ご注意下さい。
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と言う反応に関してですが、私もこの反応については良く知りません。
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Q超原子価化合物の分子軌道

こんばんは。
今、三酸化硫黄や硫酸、過塩素酸などの超原子価化合物の分子軌道について調べています。
なぜd軌道を結合に使えないはずのs,pブロック元素がオクテット則をオーバーするのか
という理由が、分子軌道法で説明していただけないでしょうか。
また、できれば超原子価化合物の分子軌道について説明している本も教えていただけたら嬉しいです。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

> 三酸化硫黄や硫酸、過塩素酸などの超原子価化合物

超原子価化合物の定義は、人によって違ったりするので厄介なのですけど、これらの分子は超原子価化合物には含めないことが多いです。「シュライバー・アトキンス無機化学」には

「たとえばSO4^2-の共鳴構造にはS原子価殻に12電子をもつものが含まれるけれども、S原子がオクテットの電子をもつようなルイス構造も一つ描けるので、SO4^2-は超原子価化合物ではない」(上巻56ページ)

とあります。この本によると、オクテット則を満たす構造式が一つでもあれば超原子価化合物とはいわない、とのことです。三酸化硫黄や硫酸、過塩素酸は、#1さんの回答にあるようにオクテット則を満たす構造式があるので、この定義によれば超原子価化合物ではないです。

ただし、IUPACの定義
http://dx.doi.org/10.1351/goldbook.HT07054
をみても、オクテット則を満たす構造式が一つでもあれば超原子価化合物とはいわない、と書いてあるわけではないので、これらの分子を超原子価化合物に含める人もいます。ウィキペディア日本語版と英語版では、超原子価化合物の例としてリン酸イオン (PO4^3-)を挙げています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%8E%9F%E5%AD%90%E4%BE%A1
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypervalent_molecule
また、ウィキペディア独語版の「硫酸イオンの構造」の説明文中に、硫酸イオンの結合と超原子価は分子軌道のエネルギー準位図から説明できる、という記述があります。

> なぜd軌道を結合に使えないはずのs,pブロック元素がオクテット則をオーバーするのか

価電子が非局在化するからです。

> 分子軌道法で説明していただけないでしょうか。

PCl5の結合は、分子軌道法を使うと、3中心4電子結合で説明できます。
http://www.frad.t.u-tokyo.ac.jp/~miyoshi/InCh2000/sect7.html

SF6の結合も、おおざっぱには3中心4電子結合で説明できます(S原子の3px,3py,3pz軌道を使う)。しかしこの考え方だと、3s軌道が空になって電子が入らない、ということになって、「エネルギー準位の低い分子軌道から電子を詰めていく」というルールに反してしまいます。そこで、真面目に分子軌道法でSF6を取り扱うときには、上のリンク先にあるように、結合性のa1g軌道に2電子、結合性のt1u軌道に6電子、非結合性のeg軌道に4電子が入っていると考えます。

SO4^2-は、あまり良い図ではないのですけど
http://de.wikipedia.org/wiki/Sulfate#Struktur_des_Sulfations
の図(クリックすると大きくなります)のように、シグマ結合が4つとパイ結合が3つあるので、S-Oの結合次数は (4+3)/4=1.75 になります。

H2SO4やHClO4の分子軌道は、SF6やSO4^2-のそれよりも複雑になります。学部レベルの教科書でこれらの分子の分子軌道が載っているものは、私は見たことがないです。

教科書に載っていそうなのは、SO2でしょうか。
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Sulfur_dioxide_molecular_orbitals
リンク先の図では
 HOMO: 硫黄の非共有電子対
 HOMO-1:パイ結合
 HOMO-2:酸素の非共有電子対
 HOMO-3:パイ結合
 HOMO-4:酸素の非共有電子対
 HOMO-5:酸素の非共有電子対
 HOMO-6:酸素の非共有電子対
 HOMO-7:シグマ結合
 HOMO-8:シグマ結合
のように対応付けすることができます。
SO2のSO結合は、二重結合になることがわかります。

SO3は、SO2と似たようなエネルギー準位図になりますが、原子数が多い分だけ複雑になります。

> 超原子価化合物の分子軌道について説明している本

分子軌道法の良いところは、原子価結合法とは違って、オクテット則を破っている分子でも満たしている分子でも、まったく同じように取り扱うことができるところです。ですので、まず分子軌道法についてしっかり学ぶのがいいんじゃないかなと思います。教科書としては、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4415255.html
の回答番号:No.5に挙げた本の[1]と[2]をお勧めします。
また、「オクテット則」、「混成軌道」、「共鳴構造」という概念は、分子軌道法とは相性の悪い概念なので、分子軌道法を本気で勉強するときには、この三つを頭から追い出しておいたほうがいいです。

超原子価化合物に関しては、図書館にこもって、「無機化学」という書名の教科書の該当箇所を手当たりしだいに読むのがいいです。大学の中には、高校生にも図書館を開放している大学もありますので、お近くの大学図書館に尋ねてみてください。一冊だけ挙げるなら、「シュライバー・アトキンス無機化学」の上巻です。

> 三酸化硫黄や硫酸、過塩素酸などの超原子価化合物

超原子価化合物の定義は、人によって違ったりするので厄介なのですけど、これらの分子は超原子価化合物には含めないことが多いです。「シュライバー・アトキンス無機化学」には

「たとえばSO4^2-の共鳴構造にはS原子価殻に12電子をもつものが含まれるけれども、S原子がオクテットの電子をもつようなルイス構造も一つ描けるので、SO4^2-は超原子価化合物ではない」(上巻56ページ)

とあります。この本によると、オクテット則を満たす構造式が一つでも...続きを読む

Qリン酸の電子構造についてです

リン酸(H3PO4)の電子構造についてです。
OH-がイオン結合しているのはわかるのですが、この=Oの結合がどのようにして成り立っているのかがよくわかりません。
超原子価の分子であるとはならったのですが・・・
どうか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

別に超原子価で考える必要はありません。

説明は二通りなされています。
分極した結合であるのは間違いないのですが、余剰の結合をイオン結合と考えるか、電荷移動相互作用に起因すると考えるか、ということです。

まずイオン結合から。

リンのローンペアが酸素原子に配位結合した、すなわちP^+-O^-という分極した結合を考えればよいですし、実際の電荷分布もそれを支持します。

どうもホスフィンオキシドやスルフィド、イリドなどのP=X (X = O, S, CR2)といった結合を二重結合といまだに考える人が多いですね。
結合長、電子分布の実測、理論計算などから、これは単結合+パイ結合といういわゆる二重結合とは違うことは前から分かっていることです。

結合が単結合に比べ短縮している、結合エネルギーが高い、といったことは、別に二重結合を意味しているのではなく、分極した原子間の静電引力によるもの、すなわちイオン結合の寄与があるためです。

次に電荷移動相互作用について。

P-OHのシグマ結合の反結合性軌道へ、オキソ配位子から電子が流れ込んでいる、という説明もなされます。
s*(P-OH) <- n(O)という電荷移動です。
有機化学で、超共役という概念を習っているでしょう。あれと同じことです。シグマ軌道が関与した電子の非局在化を、一般に超共役と呼びます。パイ軌道がなくても超共役はおきます。
これはイオン結合ではなく、結合の短縮は電荷移動に起因したものだ、とする理論です。

どちらが本当か?というと未だに研究がなされている段階です。
どっちで考えても間違いではないでしょうし、イオン結合と電荷移動の両方の寄与が働いているのが本当のところなのでしょう。

別に超原子価で考える必要はありません。

説明は二通りなされています。
分極した結合であるのは間違いないのですが、余剰の結合をイオン結合と考えるか、電荷移動相互作用に起因すると考えるか、ということです。

まずイオン結合から。

リンのローンペアが酸素原子に配位結合した、すなわちP^+-O^-という分極した結合を考えればよいですし、実際の電荷分布もそれを支持します。

どうもホスフィンオキシドやスルフィド、イリドなどのP=X (X = O, S, CR2)といった結合を二重結合といまだに考える人が...続きを読む

Q原子価結合法と分子軌道法

原子価結合法と分子軌道法の違いが
いまいち分かりません。
数式ばかり並べられているのを見ても
どこがどう違うのかを言葉でうまく表現出来ません。
本なども読んでみたのですが、どれも難しすぎて、明確にどこがどう違うのかが分かりません。
どなたか分かりやすく、これらの違いを説明してくださいませんか?

Aベストアンサー

レスが付かないようなので、一言。
このサイトのココ↓
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=561839
に大変詳しく、分かりやすい解説が載っていますよ。一度ご参照してみてください。

参考URL:http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=561839

QN原子のsp3混成軌道について教えてください.

とある教科書で
N原子の基底状態
1s (↑↓)
2s (↑↓)
2p (↑↑↑)
となっており,sp3混成軌道をとる場合については
1s (↑↓)
sp3 (↑↑↑↑)
というような表記がされていました.

率直に・・・これは正しいのでしょうか??
正しいのであれば,sp3混成軌道をとる場合,電子が一つ足りないのはなぜなのか.
また,間違っている場合は,電子の正しい軌道配置?を教えて頂ければと思います.

色々自分で調べては見たのですが,ほとんどの説明はカーボン原子で説明されているため,N原子についてはほとんど見あたりませんでした・・・.

御存知の方おられましたら,書き込みよろしくお願いします!!

Aベストアンサー

間違ってます。

1s  (↑↓)
sp3 (↑↓、↑、↑、↑)

が正しい電子配置です。
四つの等価なsp3軌道のうち一つにはスピンが逆向きになるよう二つの電子が
収容され、残り三つに一つずつ電子が入ります。

電子が二つはいった軌道は非共有電子対に相当し
一つだけ入った軌道は不対電子に相当します。

Q錯イオンについて

昨日久しぶりに図書館に行ってみたら、以前にrei00さんが紹介して下さった
『暗記しないで化学入門(平山令明 著)』が見つかったので借りてきました。
まだ半分しか読んでませんが、いろいろと理解が深まってきたような気がします。

それでもまだよく解らないのが錯イオンのことなんです。
まずこの中の記述によると、p軌道まで電子が一杯(価電子8個)になると、
安定になるということですよね?

で、Fe2+がd2sp3混成軌道になったり、Coがd2sp3混成軌道になるのは
なんとなくは理解できました。(間違った理解かもしれませんが(^^;

これだとAl3+はsp3混成軌道になりそうだ・・・、と思うんです。
しかし、実際はsp3d2混成軌道になることが多いんですよね?
この”d2”ってのはどうなってるんでしょう??
これだと逆に不安定になっていそうな感じがするのですが・・・。

他にCo2+も、sp3混成・sp3d2混成の両方をするんですよね?
う~ん・・。全く解りません・・・。(T_T)
というか、たぶん最初から何か勘違いしてると思うんです。
今日、学校の物理の先生にこの事を質問してみたのですが、
『大学で習ったけど忘れた』とか言われてしまったんです。(笑
錯イオンのこういったこと↑について、教えて下さい!
よろしくお願いします。m(_ _)m

(いま読んだら何を書いてあるか解りづらいですね・・・すみません。)

昨日久しぶりに図書館に行ってみたら、以前にrei00さんが紹介して下さった
『暗記しないで化学入門(平山令明 著)』が見つかったので借りてきました。
まだ半分しか読んでませんが、いろいろと理解が深まってきたような気がします。

それでもまだよく解らないのが錯イオンのことなんです。
まずこの中の記述によると、p軌道まで電子が一杯(価電子8個)になると、
安定になるということですよね?

で、Fe2+がd2sp3混成軌道になったり、Coがd2sp3混成軌道になるのは
なんとなくは理解でき...続きを読む

Aベストアンサー

  典型元素だけで形成される安定化合物の多くはオクテット則を満たしているものが多いですね。オクテットを達成することは安定化のための重要な因子ですが、無条件で何よりも優先されるわけではありません。例えばSi、P、Sなど第3周期の右部分の元素を含む安定な物質の中にはオクテット則を満たしていないものもあります(例えばPF6- など)。これらの化合物の中心元素は水溶液中のアルミニウムイオンと同様に3s、3p、3d 軌道混成しており5配位あるいは6配位の化合物を形作っています。
  遷移金属錯体の安定性を推し量る目安として、オクテット則に似た18電子則というものがあります。これにはオクテット則以上に多くの例外があるので混乱を避けるためにここでは説明しません。

>これだとAl3+はsp3混成軌道になりそうだ・・・、と思うんです。
>しかし、実際はsp3d2混成軌道になることが多いんですよね?
>この”d2”ってのはどうなってるんでしょう??
>これだと逆に不安定になっていそうな感じがするのですが・・・。

まずは「なぜ使われるd 軌道は二つなのか」
Al原子は最外殻電子を3個もっていますからAl3+では最外殻電子はゼロ。そこに6個のアクア配位子が2電子ずつ合計12電子を供与します。ひとつの軌道には2電子収容できますので12電子全てを収容するには6つの軌道が必要です。3s 軌道ひとつと3p 軌道三つ、残り二つ足りません。そこでこの不足分を3d 軌道でまかなおうということです。ここで注意して欲しいのはエネルギー準位が満たされる順序について。化学の授業のどこかで1s →2s →2p →3s →3p →4s →3d と習ったはずですが、今回の話の場合には4sを飛ばして3d 軌道が選ばれます。

「何故sp3ではなくsp3d2か」
配位数や配位様式などの錯体構造は、中心元素の種類や形式電荷だけで決定されるのではなく、むしろ配位子が形作る電場から中心元素が受ける静電的影響により決定されます。すなわち静電場が中心元素の各軌道間に様々なエネルギー差を生じさせ→軌道の混成に影響を与える→分子構造が決定されます。Al3+と水の場合には「アクア配位子が強い静電場を形成し、アルミニウムがその影響を受ける。その中ではsp3四面体構造よりもsp3d2八面体構造が安定となる」のです。

(蛇足ですが周期表でアルミニウムの上に位置するホウ素の場合には対応するd軌道がありません(2d?)。そのため配位子が超強力な電場を形成してもd軌道との混成ができず、アルミニウムのような多配位を取れないのです。対応するd軌道を有している場合でも、配位子が嵩高ければ立体反発による配位数の制限を考えなければなりません。錯体に限らず化合物の安定性を考える場合には、特定の元素のエネルギーのみに着目するのではなく分子全体のエネルギー、系全体のエネルギーを考えねばなりません。今回の場合にも厳密には静電場以外にも考慮しなければならないファクターがあるのです。でも大学に入って好きな学問に費やす時間が出来るまでは「水溶液中のアルミニウムイオンは6配位の状態で安定」と暗記しておくしかない、かな?)


>Fe2+がd2sp3混成軌道になったり、Coがd2sp3混成軌道になるのは
>なんとなくは理解できました。
>他にCo2+も、sp3混成・sp3d2混成の両方をするんですよね?

次は遷移金属ですね。遷移金属錯体に関しては配位子から与えられる電子以外に中心金属イオンが有しているd電子の数およびそれが収まっている軌道にも気を配る必要があります。遷移金属錯体で平面四配位をとる理由の多くは、この「金属イオンが有しているd電子」によって特定の方向から配位子が接近出来ないためです。  さて、本題に戻ります。この金属ならばこの混成、という考え方はやめた方がよいと思いますよ。先ほども述べましたが錯体の構造は配位子の数だけでなく、その種類にも大きな影響を受けます。配位子場が中心金属に与える静電的影響の大きさ(分光化学系列;CN- > NH3 > H2O > OH- > F- > Cl- > Br- > I-)の変化によって正四面体になったり、平面四角形になったりします。例えば配位子に結合している官能基の一部(金属とは直接結合していない部分)を変えるだけで構造が劇的に変化するものもあります。見た目が変化しなくてもd2sp3 → sp3d2への変化とかもありますよ。
  無責任ですが(すいません)詳細は結晶場理論や分子軌道法、無機化学、錯体化学をご自分で学んでください。


<<以上、自信なし!! 以下は自信あり(笑)>>

なににせよ、いろいろ疑問を持つことは非常に良いことです。そしてガンガン質問するのも素晴らしいことです。あなたの質問のセンスも見事だと思います。最近は大学の化学系研究室などでは何も質問しないと同時に教官や先輩から指示されたことだけしかできない学生が増えていると聞いています。あなたのように前向きな姿勢で学問研究に取り組む人が増えてくれたら研究室の活性化が図れてよいのではないか、と思います... 是非化学系に進んで欲しいと個人的には思っています。

  典型元素だけで形成される安定化合物の多くはオクテット則を満たしているものが多いですね。オクテットを達成することは安定化のための重要な因子ですが、無条件で何よりも優先されるわけではありません。例えばSi、P、Sなど第3周期の右部分の元素を含む安定な物質の中にはオクテット則を満たしていないものもあります(例えばPF6- など)。これらの化合物の中心元素は水溶液中のアルミニウムイオンと同様に3s、3p、3d 軌道混成しており5配位あるいは6配位の化合物を形作っています。
  遷移金属錯体の安...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む


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