ケーキの分配法？

ケーキが１つあります。これを２人で上手く分けるには、まず１人が同じ大きさになるように２つに切ります。次にもう１人が好きな方を取ります。こうすると、切った方は同じ大きさになるように切ったのですから、どちらを取られても文句は言えないわけです。
それでは、これが３人の場合やそれ以上の場合、どのようにすればいいのでしょうか？以前、解法を聞いたことがあるのですが忘れてしまいました。どなたか教えて下さい。

No.1 回答者： noname#1806 回答日時： 2001/02/28 10:24

３人の場合ですが，左から３分の１だと思う点を指し示します。

一番左の点を指した人がその点から左を取ります。この時点であとの２人は残りは３分の２より多いと思います。あとは２人の時の分け方を行ないないます。

Ｎ人になっても、Ｎ分の１だと思う点を示して，一番左の点を示した人がそこより左を取って、残りを（Ｎ-１）人でわけるということを繰り返して分けることができます。

No.2 回答者： yun_neko 回答日時： 2001/02/28 14:52

３人の場合。

ケーキは上手く３等分出来ないので、６等分して２個ずつとっていきます。

１．Ａが二等分（半分）に切る
２．Ｂが四等分に切る
３．Ｃが六等分に切る

４．Ａ→Ｂ→Ｃの順番で１個目を選ぶ
５．Ｃ→Ｂ→Ａの順番で２個目を選ぶ


ん～。これでどうでしょうか？？？？？

No.3 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/02/28 16:10

benjaminさんの方法では、最初の１人がとった分が3分の1より多いんじゃないか、というクレームがでますので、のこりの2人に「これがほしい人」を聞く必要があります。

だれもいなければそのままもらう。１人が「ほしい」といえばその人に。２人とも「ほしい」といえば、その２人のうちの１人に残った部分切ってもらい、ほかの２人にとってもらう。
最初に切った人は、切った３分の１が正しいならば、あとで切ったほうのどちらかをとって文句はない（正しく等分できていなければどっちかが得）
残った部分を２人で１つずつ分け合えなければ、切っていない人に「大きい」と思うほうから「等分」になるよう切り取って「小さい」と思うほうに足す。それで２番目に切った人が好きなほうをとれば、丸く収まるし、切る回数も平等になります。

もっとスマートな方法もありそうですが、とりあえず。

No.4 回答者： puni2 回答日時： 2001/02/28 16:16

余談ですが，道垣内正人著「自分で考えるちょっと違った法学入門」（有斐閣，1998年新版発行）にこの話が出ています。

「第1章　ケーキの分け方」です。ケーキの分け方をネタにして，政治や法律を考える，みたいな話で，なかなか面白いですよ。
たしかもともとはジュリスト（という月刊誌）に連載していた記事を単行本化したものだったと思います。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2001/03/01 00:51

●nozomi500さんのご回答は：

Aが最初の一切れを切る。B,Cのうちこれが欲しい人は何人か？
　0人-> Aがこの一切れを取る。残りを２人で分ける。
　1人-> 欲しい人がこの一切れ取る。残りを2人で分ける。
　2人-> Bが残りのケーキを切る。AはBが切った２つのうちから選ぶ（最初の一切れを選ぶのは禁止）。Cは残った２切れの大きさを調節する。Bが好きな方を取る。Cが残りを取る。

ということでしょうか。なるほど。
　しかし、AとBが組んでCを「はめる」ことができちゃう。（法律問題まで関係しているとなると、考えすぎとも言い切れない？）

＊Aがいささか大きく切る(0.35)とCは欲しがる。しかしBも手を挙げて「2人->」 の場合を成立させる。Bは残りのケーキを不均等(0.01と0.64)に切る。Aはその大きい方(0.64)を取る。Cは残り(0.01と0.35)の大きさを調節してBと半分ずつ(0.18と0.18)になるようにするのが最善の策。
　Aは得をし、BはCの泣き顔が見たい。後でこっそりAから分け前を貰うのかも知れない。なんて可哀想なC。
（「2人->」 の後、２度目に切ったり、調節したり、選んだりのパターンを幾つか調べてみた中では、少なくともこういう「共謀によるいじめ」はどの場合にも可能でした。）

●答案１：オークションはどうでしょうか。
最初に誰が切るかは問題ではない。ともかくナイフを構える。そして一切れの大きさが小さくなる方向へじわじわとナイフを移動して行きます。三人のうち二人が「それだったらいらない」と意思表示したところで切ります。
二人がいらないと言ったんだから、意思表示しなかった一人が受け取って、残りは「二人で公平に」の問題に帰着。

　しかし、例えば三人とも欲しい・いらないの判断が完全に一致しちゃったらどうするか。その場合、ちょうど境目があるはずで、そこで切れば良さそうですが、さてナイフがその位置に収束するのに有限時間でできるか？多分、早く食べたいひとが妥協することになりますが、妥協するタイミングまで３人が一致したら困りますね。

●答案２：そこで、「a: 欲しい」＞「b: ま、よろしんじゃないでしょうか」＞「c: いらない」の３値でやってみてはどうでしょう。aからc、cからaへの意思変更はダメで、一瞬でもbを経由しなくちゃいけない。
（abc)でそれぞれの人数を示しますと、初め(300)[＝３人ともa]からスタート。ナイフを移動していきます。
・(300)か(210)か(201)->まだまだ。ナイフの移動を続けます。
・(120)か(111)か(102)->切って、欲しい人が取る。残りを二人で分ける。
ここまではまあ問題ないでしょう。また
・(030)->切って、くじびきで取る人を決める。残りを二人で分ける。
ちょっと苦しいけど、全員「ま、よろしんじゃないでしょうか」ですから。くじで最初の一切れが当たった人は、ひょっとしたらもっと良いのを手に入れられるかもしれない可能性を失う訳ですが....（でもそれを言ったら、ケーキを二人で分ける問題においても、切る側より選ぶ側の方が微妙にチャンスが多い気がしますよね。）ともあれ、これで状態(012)は生じ得ないことになります。
　さらにやっかいなのは状態が次のように遷移する場合：
(300)→(210)→(021)→(003)
あるいは
(300)→(210)→(201)→(021)→(003)
です。だから(021)になったら、もうそこで切っちゃうしかない。
・(021)->切る。そうすると、bの意思表示をしている二人のうち、どっちがその最初の一切れを取りどっちが残りのケーキを切るかが問題です。「b: ま、よろしんじゃないでしょうか。」と言っている手前、二人でくじびきして貰う。（もし残りのケーキを切る役をcの人にやって貰ったら、後の二人共が「こんな切り方だったら最初の一切れはいらない」と言い出すかもしれないのでダメ。）
　以上で、(003)[=３人ともc]に行きつく以前に必ずケーキを切ることが保証されます。

●これでもまだ文句が出ないとも限らない。ケーキが非対称の場合、どっちからどっちへナイフを動かすかが問題になる。動かし方によって３人の「満足度」の合計が違ってきます。「あそこに乗ってるチョコさえ貰えれば...」「あの苺が絶対欲しい」「毒々しい緑色のクリームが好き」と、それぞれ違う価値観を持っている３人。この場合は相談した方がよい。ゲーム理論で言うパレート最適戦略があるかも知れません。

　いやはや、本気で取り組むと、いろんな定式化ができる問題のようです。面白いですね。

No.6 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/03/01 09:33

　いやあ、私はもとが善人なもんで、２人がグルになるなんてことを思ってもみませんでした。

（笑）

　yun nekoさんの方法は、いわゆるプロ野球のドラフト会議でやっている方法ですね。ケーキとちがって、選手はなかなかうまくわけられない。そもそも、うまくわけるのはいやだ、うちのチームが0.65ほしい、という人がいたりするから。ははは。

No.7 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/03/01 22:35

　benjaminさんの方法について、読み間違いしていました。

すみません。３人ともが３分の１だと思う場所を指して、そのうちで一番すくないのを選んだ人が取るんだったのですね。このほうが、グルをされにくいですね。

yun nekoさんの方法で、４等分したあとで６等分は無理だから、２番目の人は、２つの部分をそれぞれ３分の１ずつ切り取ることになるのでしょうか。

No.8 回答者： yun_neko 回答日時： 2001/03/02 12:18

nozomi500さん

＞yun nekoさんの方法で、４等分したあとで６等分は無理だから、２番目の人は、２つの部分をそれぞれ３分の１ずつ切り取ることになるのでしょうか。

丸いケーキなら可能です。

No.9 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/03/02 22:41

　回答じゃないのですが、yun nekoさんの丸いケーキで「４等分」されたケーキは、１個が「0.25」（にちかい）に切られているはずなんですが、どうやって、「0.25」のケーキを約「0.17」にできるんでしょう。

　最初の人が「0.5」に切ったケーキ２つから、「0.17」ずつ切らないと無理じゃないですか。それなら、丸くても長くても同じか・・・

　なんで私は、この手の答えが気になってしかたないんだろう、と、自分でもおかしいですが。

No.10 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/03/06 10:57

　たぶん質問者より私のほうが気にしている（質問者自信はわすれていたりして）みたいですが、この方法というのは、「いかに切るか」でなく、「切ったのに文句を出させない」ことが目的なんでしょうね。

　すると、「ここで切っていい？」と聞きながら切るのは外道といえるかもしれません。「ここで切るよ」といって切ったところが垂直に切れていないと文句が出ることもありますね。
　
　「丸いケーキ」のドラフト方式は、たとえば、最初の人が１２時から６時の方向に切って、次の人が２時から８時に切って、最後に４時から１０時、ということで３分の１ずつ切るのでしょうね。２番目が４等分だと、３時から９時の方向になり、あとどうやって６分の１にできるのか・・。
　たぶん、これが一番すっきりしそうですが、stomachmanさんのつっこみがないと不安ですね。でも、忘れられているんでしょうね。