等差数列の和

等差数列の和の求め方で、

例　3.9.12.15.18

s=6.9.12.15.18

逆にして、

s=18.15.12.9.6

2S=(6+18)+(9+15)+(12+12)+(15+9)+(18+6)
=24+24+24+24+24
=・・・

という求め方がありますが、
【この数列を逆にしたものを】+すると、上みたいに全て24というスッキリした形になるのは、偶然なのでしょうか・・・

それとも証明できる式があるのでしょうか

何か変なこと言ってたらごめんなさい

No.6 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/12/26 04:46

こんばんは。

＞＞＞何か変なこと言ってたらごめんなさい

そんなことないですよ。


＞＞＞偶然なのでしょうか・・・
＞＞＞それとも証明できる式があるのでしょうか

偶然ではなく、証明できるものです。

「等差数列の和」の中の「公式の証明」をご覧ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%B7%AE% …

こちらは、図で説明されています。
http://www5f.biglobe.ne.jp/~roro1/sansu5.htm

こちらにも、図があります。
http://www.ies.co.jp/LoveMath/1st_grade/tosawa-j …


私もやってみましょうか。
ａ（＝初項）　から　ａ ＋ ｎ×差　までの、ｎ＋１個の数を足します。

Ｓ　＝　ａ　＋　ａ＋１×差　＋　ａ＋２×差　＋　ａ＋３×差　＋　・・・・・　＋　ａ＋（ｎ－２）×差　＋　ａ＋（ｎ－１）×差　＋　ａ＋ｎ×差

Ｓ　＝　ａ＋ｎ×差　＋　ａ＋（ｎ－１）×差　＋　ａ＋（ｎ－２）×差　＋　・・・・・　＋　ａ＋２×差　＋　ａ＋１×差　＋　ａ

Ｓ＋Ｓ　＝　ａ＋ａ＋ｎ×差　＋　ａ＋１×差＋ａ＋（ｎ－１）×差　＋　ａ＋２×差＋ａ＋（ｎ－２）×差　＋　・・・・・　＋　ａ＋（ｎ－２）×差＋ａ＋２×差　＋　ａ＋（ｎ－１）×差＋ａ＋ａ＋１×差　＋　ａ＋ｎ×差＋ａ

　＝　２ａ＋ｎ×差　＋　２ａ＋ｎ×差　＋　２ａ＋ｎ×差　＋　・・・・・　＋　２ａ＋ｎ×差　＋　２ａ＋ｎ×差　＋　２ａ＋ｎ×差
　＝　２ａ＋ｎ×差　が　ｎ＋１個
　＝　（２ａ　＋　ｎ×差）（ｎ＋１）


Ｓ　＝　（Ｓ＋Ｓ）／２
　＝　（２ａ　＋　ｎ×差）（ｎ＋１）／２
できあがりです。

「ｎ＋１個」だとわかりにくいので、「Ｎ個」にします。
Ｎ　＝　ｎ＋１
ｎ　＝　Ｎ－１

Ｓ　＝　（２ａ　＋　（Ｎ－１）×差）・Ｎ／２
等差数列の和　＝　（２×初項　＋　（項の数 － １）×公差）×　項の数　÷　２　　　←　公式その１

６＋９＋１２＋１５＋１８　に当てはめますと、
Ｓ　＝　（２×６　＋　（５－１）×３）　×　５　÷　２
　＝　（１２　＋　１２）×５÷２
　＝　６０



もっと簡単にできます。

最終項　＝　ａ＋ｎ×差
なので、
ｎ×差　＝　最終項　－　ａ
よって、
Ｓ　＝　（２ａ　＋　ｎ×差）（ｎ＋１）／２
　＝　（２ａ　＋　最終項　－　ａ）（ｎ＋１）／２
　＝　（ａ　＋　最終項）（ｎ＋１）／２

等差数列の和　＝　（初項　＋　最終項）×項の数／２　　　←公式その２

６＋９＋１２＋１５＋１８　に当てはめますと、
Ｓ　＝　（６　＋　１８）×５／２
　＝　６０


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2008/12/29 16:03

No.7 回答者： nattocurry 回答日時： 2008/12/26 11:49

例の場合、

元の数列は、等差が＋３．
逆の数列は、等差が－３．
だから、それを足すとすべてが同じ値になるのは、偶然じゃなくて必然です。

No.5 回答者： chie65535 回答日時： 2008/12/26 00:28

書き間違った

６□□＋■■■■■■18＝24
９□□□＋■■■■■15＝24
12□□□□＋■■■■12＝24
15□□□□□＋■■■９＝24
18□□□□□□＋■■６＝24

No.4 回答者： chie65535 回答日時： 2008/12/26 00:27

□＝３、■＝３

６□□＋■■■■■■21＝24
９□□□＋■■■■■15＝24
12□□□□＋■■■■12＝24
15□□□□□＋■■■９＝24
21□□□□□□＋■■６＝24

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/12/26 00:16

>上みたいに全て24というスッキリした形になるのは、偶然なのでしょうか・・・

階段をイメージするんだ。

No.2 回答者： KitCut-100 回答日時： 2008/12/25 23:09

等差数列ですので各項間の差は一定です。

その差を dとします。
また初項を A0とすると 第n項は,

An = A0 +(n-1)*d

となります。
ここで 第n項までの和 Snを考えます.

Sn = A0 + A1+ A2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+An
= A0 +A0+(2-1)*d +A0+ (3-1)*d ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+A0+(n-1)*d
です。
またこれを逆順に書くと
Sn= A0+(n-1)*d,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+A0+ (3-1)*d+A0+(2-1)*d+ A0
ここでこれを加えると
2*Sn= (2*A0+(n-1)*d)+(2*A0+(n-1)*d),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,(2*A0+(n-1)*d))

となり各項は、一定の値になります。 等差数列はこの逆順の加え合わせで
常にすっきりした形になります。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2008/12/25 23:08

a_n=a+d*(n-1)

で、a , a+d , a+2d　…　a+(n-2)*d , a+(n-1)*dですから、
逆はa+(n-1)*d , a+(n-2)*d　…　a+d , a
で、足すと
a+{a+(n-1)*d}＝2a+(n-1)*d
(a+d)+{a+(n-2)*d}=2a+(n-1)*d
…
で、すべて同じ値になるわけです